Простейшая математическая модель причинной петли

Есть четыре простые модели для создания замкнутых времениподобных кривых:

1. Времяподобный цилиндр/тор (пространство Минковского, где$t = 0$и$t = T$идентифицируются, а также, возможно, пространственные размеры)
2. Пространство Мизнера (пространство Минковского, идентифицированное вдоль буста)
3. Пространство-время Дойча-Политцера (обнаружены два пространственноподобных разреза в пространстве Минковского)
4. Червоточины с тонкой оболочкой (сферы, идентифицированные в пространстве-времени Минковского со сдвигом во времени между ними).

Все они имеют то преимущество, что это плоское пространство (за исключением червоточин, где сама оболочка имеет распределение массы), так что все можно делать, как в плоском пространстве-времени.

Простейшими формами материи для изучения причинных петель являются свободные точечные частицы, и в этом случае вам нужно беспокоиться только о геодезических в этих пространствах. Поскольку это всего лишь пространство Минковского, в основном это просто изучение прямых на нем. С этим уже можно найти интересные результаты, например, для тора Минковского.$S \times S$. Если у вас есть идентификация

за$n,m \in \mathbb{Z}$, с$T$период времени и$L$окружности пространственного сечения, рассмотрим решение геодезического уравнения начиная с$(0,0)$и параметризуется координатным временем для упрощения.

с$u^\mu = (1, v)$. Требуется дополнительно выполнить условие$(T, v T) = (0, v T)$.

Это означает, что в любое время (но, в частности, в$t = 0$) кривая будет пересекать пространственноподобную гиперповерхность в нескольких точках, т.е.$x = nvT$за$n \in \mathbb{Z}$. Но поскольку пространственноподобная гиперповерхность сама по себе периодична, это означает, что пересечение в$t = 0$на самом деле будет в$x = nvT \mod L$.

Если$vT/L \in \mathbb{Q}$, это хорошо. Если$vT/L = p/q$, затем после$n = q$циклов кривая соединяется сама с собой (поскольку$x = nvT \mod L= pL \mod L = 0$). А иначе кривая никогда не соединится сама с собой, и частица будет плотна на многообразии (появится в каждой точке). В основном это проблема иррациональных геодезических на торе с пространством-временем.

То же самое можно сделать и для скалярных полей без особых проблем. Однако для взаимодействующих полей, где проблема становится более интересной, нет «правильной» физической системы, которую можно было бы создать. Даже самые простые нелинейные системы (такие как модель Синуса-Гордона или даже просто заряженные точечные частицы) не были созданы для такого пространства-времени. Вот несколько примеров идей, которые были опробованы на разных уровнях строгости (предупреждение: многие из них связаны с оружием):

Вполне возможно, что самой ранней из них является статья Фейнмана и Уилера 1949 года . Хотя на самом деле речь идет не о замкнутых времениподобных кривых (а об опережающих волнах), принцип довольно похож и использовался для замкнутых времениподобных кривых другими авторами:

Чтобы сформулировать парадокс приемлемо, мы должны исключить человеческое вмешательство. Поэтому мы вводим механизм, который экономит заряд$a$от удара в 18:00 только в том случае, если эта частица совершает ожидаемое движение в 8:00 (рис. 1). Наша дилемма сейчас такова:$a$попал вечером или нет. Если это так, то в 8 утра он претерпел предварительное смещение, которое отсекло удар, так что$a$не пробил в 6 часов вечера! Если в 18.00 не стукнуло нет утреннего движения, чтобы срезать удар и так вечером$a$потрясен!

Рис. 1. Парадокс опережающих эффектов. Ударяет ли пуля$X$в 6 вечера? Если да, расширенное поле из$A$наборы$B$в движении в 13:00 и$B$движется$A$в 8 утра Тем самым затвор$TS$приводится в движение, и путь пули заблокирован, поэтому она не может попасть$X$в 18:00 Если не пробьет$X$в 18:00, то в 17:59 его путь не перекрыт этой цепочкой действий, и, следовательно, пуля должна попасть$X$

Для решения разделим проблему на две части: влияние прошлого$a$на его будущее и будущего на прошлое. Две соответствующие кривые на рис. 2 не пересекаются. У нас нет решения, потому что действие затвора на шарик, будущего на прошлое принимается прерывистым.

Рис. 2. Анализ и разрешение парадокса опережающих эффектов. Воздействие затвора на пулю — взаимодействие прошлого и будущего — непрерывно (штриховая линия на схеме), а кривые действия и противодействия пересекаются. См. текст для физического описания решения.

Это использовалось несколько раз с несколькими вариантами, такими как Время Кларка в общей теории относительности :

Чтобы понять, как это происходит, рассмотрим уже упомянутый случай человека, который встречает свое прежнее «я» в обстоятельствах, при которых, если бы физика была нормальной, он мог бы его застрелить. Затем, в качестве предварительного шага в анализе, давайте заменим сложного человека простым автоматом, который, тем не менее, демонстрирует упомянутую ненормальную физику. Это устройство должно состоять из ружья, мишени и затвора, устроенного таким образом, чтобы попадание пули в мишень приводило в действие затвор и перемещался перед ружьем. Он преследует кривую, нарушающую причинность, в пространстве-времени таким образом, что две точки на мировой линии объекта$A$и$B$, с$B$позже в истории объекта, чем$A$, физически одновременны и расположены, как на рис. 1, так что пушка в$B$направлен на цель в$A$и затвор изначально поднят в$A$.

Предположим теперь, что машина «стреляет в себя прежнюю»: ружье в$B$запускается либо автоматическим механизмом синхронизации, либо вмешательством человека, принимающего сознательное решение. Если затвор в$B$были еще подняты, пуля попадала в цель в$A$, что приведет к срабатыванию затвора$B$быть вниз, противоречие. Но если бы затвор был опущен в$B$, то пуля была бы остановлена, цель$A$не попал бы, а затвор в$B$все еще должен быть поднят: ставни подняты тогда и только тогда, когда они опущены; ситуация логически невозможна.

и Криеле «Пространство-время: основы общей теории относительности и дифференциальной геометрии»:

На первый взгляд кажется, что в центре проблемы находится возможность «свободы воли». Однако вслед за (Уилер и Фейнман, 1949) Кларк (1977) переформулировал мысленный эксперимент с точки зрения простой машины и заявил, что мысленный эксперимент ошибочен: Предположим, что в пространстве-времени есть пистолет, направленный на цель. Эта мишень связана с затвором, который, если он закрыт, блокирует путь между пистолетом и целью: если пистолет срабатывает, пуля попадает в цель, что, в свою очередь, приводит к падению затвора. Второй выстрел теперь будет заблокирован затвором и, следовательно, не сможет попасть в цель (см. рис. 8.1.3).пистолет сработал. Кажется, мы снова приходим к противоречию: если затвор открыт, пуля может попасть в цель. Но мишень закрывает затвор, который в свою очередь преграждает путь пуле.

Как вы упомянули в своем посте, многие взаимодействующие примеры представляют собой эластичные бильярдные шары, поскольку они ближе всего подходят к строгой системе. Рассматриваемая система представляет собой совокупность$n$точечные частицы, которые подчиняются геодезическому движению (в рассматриваемом пространстве-времени почти полностью прямым линиям), за исключением тех мест, где они пересекаются, где их поведение будет определяться сохранением четырех импульсов.

Существует три различных типа исходов (для любых систем, но в частности для данной): либо нет самосогласованных решений для системы бильярдных шаров с некоторой начальной скоростью, либо существует ровно одно решение (система называется доброкачественной, и мы можем просто предсказать, что произойдет), или существует более одного решения. Поведение бильярдных шаров сильно различается. Согласно Эрману , на времениподобном цилиндре всегда есть несколько решений. Геделевское пространство-время безобидно (это потому, что замкнуты только ускоренные кривые, а для упругих столкновений это не так). Кажется, что червоточины с тонкой оболочкой имеют бесконечно много решений для большинства нетривиальных систем, и кажется, что нет никаких противоречивых решений.

В статье, которую вы перечисляете, действительно есть довольно простые математические результаты для этого, поскольку в нерелятивистском режиме и почти без учета обхода червоточины все является просто классической механикой. Хотя расчеты довольно длинные, в них нет ничего слишком физического, если вы просто признаете основной вывод о том, как сохраняется импульс при пересечении червоточины: импульс сохраняется,$v_{\text{out}} = v_{\text{in}}$, а если частица имеет угол$\psi_{\text{in}}$по сравнению с линией, соединяющей две червоточины, и входит в глотку под углом$\phi$, то он выйдет под углом$\psi_{\text{out}} = \psi_{\text{in}} - 2\phi$. Дальше все просто классическая механика.

Для таких примеров также используются макроскопические механические системы, поскольку с ними легче иметь дело, хотя, очевидно, они менее строгие. Новиков сделал немало из них, например, в машине времени и самосогласованной эволюции в задачах с самовоздействием , где он использовал следующие несколько систем:

Во-первых, система труб, соединенных с червоточиной, так что поршень может двигаться назад и блокировать себя от движения вперед. Из-за отсутствия свободы бокового движения в этом есть начальные условия, в которых нет последовательного развития.

Затем, чтобы избежать любых проблем с прошлым объектом, заменяющим будущий объект, он также рассмотрел несколько систем, связанных с бомбами. Первая система представляет собой шар, приспособленный для взрыва при касании любого другого объекта.

Исходные данные расположены таким образом, что мяч входит в рот$B$, выходит изо рта$A$в прошлом, продолжает движение и достигает точки$Z$как раз вовремя, чтобы столкнуться с самой «младшей» версией. Это столкновение приводит к взрыву. Мы не учли влияние будущего на прошлое до того, как мяч вошел в рот$B$, и в этом причина "парадокса".

Но происходит самосогласованная эволюция, как показано на рис. 6. Исходные данные те же, что и на рис. 5, но до достижения точки Z он встречает фрагмент взрыва самого себя. Этот осколок попадает в мяч и является причиной взрыва, осколки мяча разлетаются во все стороны со скоростями намного большими, чем скорость мяча. Некоторые из них залетают в рот, а группа выходит изо рта.$A$в прошлом. Можно показать, что они будут продолжать лететь практически во всех направлениях из устья А, потому что у них разные параметры прицеливания, когда они попадают в устье А.$B$. Один из фрагментов изо рта$A$пересекает траекторию мяча в точке$Z'$ровно в тот момент, когда мяч прилетает в ту же точку$Z'$. Этот осколок и является причиной взрыва шара. Следствие взрыва (осколок) является причиной взрыва.

Рис. 5. Самонесогласованная эволюция в задаче о шаре с бомбой.

Рис. 6. Самосогласованная эволюция в той же задаче, что и на рис. 5.

Немного менее строго, чем раньше, поскольку мы выдвигаем довольно грандиозную гипотезу о траектории осколков.

Таких моделей игрушек довольно много, как в этих газетах, так и в других, которые вы можете найти в их библиографии.

Самые простые модели, которые я видел, представляют собой классическую механическую обработку бильярдной задачи с машинами времени, например , https://arxiv.org/abs/gr-qc/9506087 , https://arxiv.org/abs/gr-qc/9607063 . , https://arxiv.org/abs/gr-qc/0007064