Найдите выражение для времени, за которое бак с водой опустеет наполовину.

Задача состоит в том, чтобы найти выражение для времени, которое требуется, чтобы цилиндрический резервуар для воды был наполовину пуст. Мне дано, что резервуар для воды имеет диаметр$D_0$и высота$H$. Выходное отверстие для воды расположено на дне резервуара для воды и имеет диаметр$D$.

Я использую уравнение Бернулли, чтобы найти скорость, чтобы иметь выражение$v=\sqrt{2gH}$, так как оба давления атмосферные.

Метод, который я использовал, чтобы найти выражение для времени, которое потребовалось, чтобы резервуар для воды был наполовину пуст, состоит в том, чтобы разделить объем резервуара на скорость потока:

$t=\frac{V}{\dot V}$.

Выражение для объема половины резервуара для воды (Мы должны рассчитать время, за которое половина объема вытечет, поэтому здесь используется только половина объема):

$V=A\cdot H=\frac{\pi}{4} D_0^2 \frac{1}{2}H$"="$\frac{\pi}{8} D_0^2H$

а выражение для скорости потока:

$\dot V=A\cdot v=\frac{\pi}{4} D^2\sqrt{2gH}$

Тогда выражение для времени принимает вид:

$t=\frac{\frac{\pi}{8} D_0^2H}{\frac{\pi}{4} D^2\sqrt{2gH}}=(\frac{D_0}{D})^2\frac{H}{2\sqrt{2gH}}=\frac{1}{2}(\frac{D_0}{D})^2\sqrt{\frac{H}{2g}}$.

Моя книга использует это

$dV=\frac{\pi}{4}D^2\sqrt{2gz}dt$

и что$dV$также может быть выражено как:

$dV=A_{tank}(-dz)=-\frac{\pi}{4}D_0^2dz$

Эти два выражения для$dV$затем приравниваются друг к другу и решаются для$dt$. Затем это выражение интегрируется, и в результате получается следующее:

$t=(\frac{D_0}{D})^2 \frac{1}{\sqrt{2g}}(\sqrt{H}-\sqrt{\frac{H}{2}})$

Поэтому мой вопрос заключается в том, почему первый метод не дает того же ответа по времени, что и второй метод?