Назначение стабилизаторов QEC

Я прохожу через идею формализма стабилизатора.

Определено, что такое группа Паули.$P_n$и его свойства мы описываем множество стабилизаторов$S$как:

$$S\subset P_n$$

Набор стабилизаторов устанавливает действительные кодовые слова для состояния, если уравнение

$$s\left|\psi\right\rangle=\left|\psi\right\rangle,\;\;\;\forall s \in S \;\;\;\;\; (1)$$ удовлетворен. Это значит $\left|\psi\right\rangle$является +1 собственным состоянием $s$.

Каждое допустимое кодовое слово принадлежит$V$, то есть набор кубитов, стабилизированный$S$. Следовательно, если$(1)$удовлетворен, то$\left|\psi\right\rangle \in V$.

Рассмотрим код Стина из 7 кубитов. Ниже приведены коды стабилизатора для такого кодирования:

$$K^1 = IIIXXXX$$ $$K^2 = XIXIXIX$$ $$K^3 = IXXIIXX$$ $$K^4 = IIIZZZZ$$ $$K^5 = ZIZIZIZ$$ $$K^6 = IZZIIZZ$$

Это снижает$2^7$гильбертово пространство в двумерное подпространство. Эти стабилизаторы генерируют допустимые кодовые слова для кода Стина:

$$\left|0\right\rangle_L \equiv \frac{1}{\sqrt{8}}(\left|0000000\right\rangle + \left|1010101\right\rangle + \left|0110011\right\rangle + \left|1100110\right\rangle + \left|0001111\right\rangle + \left|1011010\right\rangle + \left|0111100\right\rangle + \left|1101001\right\rangle)$$ $$\left|1\right\rangle_L \equiv \frac{1}{\sqrt{8}}(\left|1111111\right\rangle + \left|0101010\right\rangle + \left|1001100\right\rangle + \left|0011001\right\rangle + \left|1110000\right\rangle + \left|0100101\right\rangle + \left|1000011\right\rangle + \left|0010110\right\rangle)$$

Здесь приходят мои сомнения; Каждый стабилизатор используется как «фильтры входа», поэтому, если вход, на котором применены один или несколько таких стабилизаторов, не удовлетворяет уравнению$(1)$($\left|\psi\right\rangle$-1 собственное значение$s$?), то можно сказать, что произошла ошибка. Благодаря измерению синдрома мы можем определить, где произошла ошибка, и исправить ее.

Другой вопрос: проверка$(1)$означает, например,$\;K^1 \left|1010101\right\rangle = \left|1011010\right\rangle$. Поскольку оба$\left|1010101\right\rangle$и$\;\left|1011010\right\rangle$представлять$\left|0\right\rangle_L$, мы говорим, что$(1)$удовлетворен?

Окончательно:$\;K^4 \left|1010101\right\rangle = ?$

Спасибо.

Добавлена ​​Последняя беда:

Состояние системы представлено:

$$\left|\psi\right\rangle_F={1\over 2}(\left|\psi\right\rangle_I+U\left|\psi\right\rangle_I)\left|0\right\rangle + {1\over 2}(\left|\psi\right\rangle_I-U\left|\psi\right\rangle_I)\left|1\right\rangle$$

Мы применяем$K^1,K^2,K^3$на вход, и мы измеряем вспомогательные кубиты, чтобы проверить целостность входа (если$\left|\psi\right\rangle_I$+1 собственное состояние$K^1,K^2,K^3$). Если уравнение$(1)$не удовлетворяется, то испорченный кубит корректируется с помощью$Z$гейт решается методом измерения синдрома вспомогательных кубитов. Вот как работает система?