Неабелево калибровочное поле и фермионы под четностью?

Калибровочное поле$A_\mu$преобразуется как ковектор (здесь$A_\mu = T^a A^a_\mu$полная матрица соединений). Это значит, что$A_\mu$преобразуется так же, как частные производные$\partial_\mu$трансформировать. Это легче всего увидеть, посмотрев на ковариантную производную$D_\mu = \partial_\mu + A_\mu$. Ковариантная производная преобразуется при замене координат$x \rightarrow y$как

$\frac{D}{dy^\mu} = \frac{dx^\nu}{dy^\mu} \frac{D}{dx^\nu}$

Или, написав по-другому,

$D_\mu \rightarrow \frac{dx^\nu}{dy^\mu} D_\nu$

Отсюда следует, что при замене координат$A_\mu$трансформируется так же,

$A_\mu \rightarrow \frac{dx^\nu}{dy^\mu} A_\nu$

Итак, под отражением находится одна компонента$x^i$который превращается в$x^i \rightarrow -x^i$все остальные остаются прежними. Итак, это означает, что

$A_i \rightarrow -A_i$(т.е.$A^a_i \rightarrow -A^a_i$)

а все остальные компоненты остаются прежними. Обратите внимание, что это чисто геометрическое утверждение, не имеющее ничего общего с квантованием теории, и оно исходит из рассмотрения$A_\mu$как подключение к векторному пакету ( например, см. этот другой пост StackExchange ).

Фермионы трансформируются как обычно,$\psi \rightarrow \gamma^0 \psi$под четностью, что соответствует переключению левой и правой компонент ферми-поля.