Связь Юкавы скалярного SU(2)SU(2)SU(2)-триплета с левым фермионным SU(2)SU(2)SU(2)-дублетом

Question

Связь Юкавы скалярного SU(2)SU(2)SU(2)-триплета с левым фермионным SU(2)SU(2)SU(2)-дублетом

Хиггс
Физика
хиральность
калибровочная теория
квантовая теория поля
групповые представления

Джонатан Глисон

Предположим, у нас есть теория поля с одним комплексным скалярным полем $\phi$ и один Дирак Фермион $\psi$ , оба безмассовые. Давайте напишем $\psi _L=\frac{1}{2}(1-\gamma ^5)\psi$ . Тогда юкавская связь скалярного поля с левым фермионным полем должна иметь вид

г \bar{ψ} ψ ф,

$g\overline{\psi}\psi \phi,$ где

g

$g$ – константа связи. Пока все хорошо (по крайней мере, я так думаю; поправьте меня, если что-то не так).

Теперь введем в теорию калибровочную инвариантность и потребуем, чтобы $\phi$ превратиться в тройку и $\psi _L$ преобразуется как дублет относительно калибровочной группы $SU(2)$ . Какой вид теперь принимает лагранжиан? Мое замешательство возникает потому, что теперь, в частности, хотя $\phi$ преобразуется как скаляр по группе Лоренца, он должен быть описан формулой $3$ -компоненты, так что он может трансформироваться как триплет при $SU(2)$ . Но тогда указанный выше член связи Юкавы, как написано, не является числом! Я знаю, что это как-то связано с тем фактом (я думаю), что $\overline{2}\otimes 2$ разлагается во что-то, включающее триплетное представление $SU(2)$ . К сожалению, я недостаточно знаком с теорией представлений $SU(2)$ чтобы превратить это в член связи Юкавы, который имеет смысл.

Еще раз, из-за моего незнания теории представления $SU(2)$ , я не знаю, как записать калибровочную ковариантную производную, соответствующую триплетному представлению $SU(2)$ . Если мы используем матрицы Паули в качестве основы для $\mathfrak{su}(2)$ , как триплетное представление $SU(2)$ описывается в терминах матриц Паули, действующих в трехмерном комплексном векторном пространстве?

Я также не уверен, что именно должно произойти с кинетическим членом для фермионного поля. Прежде чем настаивать на калибровочной инвариантности, этот член должен иметь вид

я \bar{ψ} γ^{мю} \partial_{мю} ψ .

$i\overline{\psi}\gamma ^\mu \partial _\mu \psi .$ Однако, поскольку (я полагаю) калибровочная инвариантность требуется только для

ψ_{L}

$\psi _L$ , предположительно, с этим термином происходит что-то более сложное, чем просто

i \bar{ψ} γ^{μ} D_{μ} ψ

$i\overline{\psi}\gamma ^\mu D_\mu \psi$ , где

D_{μ}

$D_\mu$ является подходящей калибровочной ковариантной производной. Вместо этого следует записать этот кинетический член в виде

я \bar{ψ_{л}} γ^{мю} Д_{мю} ψ_{л} + я \bar{ψ_{р}} γ^{мю} \partial_{мю} ψ_{р} ?

$i\overline{\psi_L}\gamma ^\mu D_\mu \psi _L+i\overline{\psi _R}\gamma ^\mu \partial _\mu \psi _R?$

Ответы (1)

Связь Юкавы скалярного SU(2)SU(2)SU(2)-триплета с левым фермионным SU(2)SU(2)SU(2)-дублетом

DJBunk · Answer 1

Кажется, вы хотите ввести калибровочную инвариантность в теорию, которая, по-видимому, вообще не нуждается в глобальной симметрии. Один из способов думать о калибровочной инвариантности состоит в том, что вы «оцениваете» глобальную симметрию, а затем просто меняете свои производные члены на ковариантные производные, как вы упомянули. Другими словами, пока мы можем заниматься только глобальной симметрией и оценивать ее в самом конце, если захотим. Теперь, по крайней мере, в срок, который вы записали

ф \bar{ψ} ψ

$\phi \bar{\psi} \psi$

неясно, как сокращаются индексы. Сделайте $\phi$ и $\psi$ есть индексы? Например, я мог бы сделать $\psi$ трансформироваться в под $SU(2)$ введением второго экземпляра $\psi$ и суммируем по ним:

ф \bar{ψ^{а}} ψ^{а}

$\phi \bar{\psi^a} \psi^a$

но теперь я не могу сделать $\phi$ преобразовать, потому что не осталось ничего, что могло бы сжать $\phi$ указатель с. То есть,

ф^{б} \bar{ψ^{а}} ψ^{а}

$\phi^b \bar{\psi^a} \psi^a$

не является синглетом (синглет не трансформируется под действием симметрии), поэтому он не имеет никакого смысла как термин в вашем лагранжиане. Или вы могли бы ввести второй спинор, который является синглетом в соответствии с глобальной симметрией, чтобы у вас было что-то, с чем можно свернуть ваши скалярные индексы:

ф^{а} \bar{ψ^{а}} η

$\phi^a \bar{\psi^a} \eta$

Наконец, если вы хотите, чтобы спинор трансформировался в триплет или в сопряжение $SU(2)$ вы можете ввести генератор SU (2) и контрактных индексов следующим образом:

ф^{а} (т^{а})^{б с} \bar{ψ^{б}} ψ^{с} "=" ф^{а} \bar{ψ} т^{а} ψ

$\phi^a (t^a)^{bc} \bar{\psi^b} \psi^c = \phi^a \bar{\psi} t^a \psi$

где $t^a$ находится в фундаментальном (или дублетном) представлении, так что мы можем правильно обменять присоединенный индекс на два дублетных индекса и получить общий синглет для лагранжиана.

Теперь, что касается кинетических условий, как вы упомянули, если вы хотите ввести калибровочную симметрию, замените обычную производную на ковариантную производную.

\partial_{мю} ф^{а} \to Д_{мю} ф^{а} "=" \partial_{мю} ф^{а} + я {А_{мю}}^{б} (т^{б})^{а с} ф^{с}

$\partial_\mu \phi^a \rightarrow D_\mu \phi^a =\partial_\mu \phi^a + i {A_\mu}^b (t^b)^{ac}\phi^c$

где $t^a$ находится в любом представлении $\phi^a$ переходит в . То же верно и для фермионных полей.

Однако во всем этом есть одно предостережение: этот рецепт наивного измерения глобальной симметрии, который я обрисовал в общих чертах, не работает, если глобальная симметрия «аномальна». То есть квантово-механические эффекты нарушают наивную классическую глобальную симметрию. Я не собираюсь вдаваться в подробности, но пока держите это в глубине души и читайте об этом, когда у вас будет возможность.

У меня такое чувство, что вам может понадобиться больше информации, чем это, но я пока остановлюсь здесь, и если вы отредактируете, я уточню / добавлю.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Оглядываясь назад, кажется, что это работает легче для $SU(2)$ повторений легче, чем в других группах, так как для $SU(2)$ присоединенное повторение такое же, как тройное повторение, поэтому я могу обменять индексы триплетных повторений на индексы дублетов, используя генераторы $(t^a)^{ij}$ . Я не уверен, что вы можете делать такие вещи для групп в целом.

На самом деле это произошло из-за проблемы с домашним заданием (было ограничение в пять тегов). Задача гласит: «Один из методов создания массы нейтрино, который мы не обсуждали в классе, включает добавление поля Хиггса. $T$ который является тройкой под $SU(2)_L$ с юкавской связью с левыми лептонными дублетами. Если этот триплет является комплексным полем, то этому новому скалярному полю можно присвоить лептонное число так, чтобы лептонное число сохранялось». это самостоятельно.
Эту часть моего вопроса можно сформулировать так: при такой постановке задачи какова правильная форма члена связи Юкавы? (Я понимаю, что то, что я записал, не имело смысла. Проблема в том, что я не знаю, как изменить это, чтобы оно имело смысл).
Скажем, у нас есть дублет Хиггса и триплет Хиггса. Можно ли получить триплет Хиггса из дублета Хиггса? Я имею в виду, что у нас есть такой термин, как $\sim D D T$ ?
JG - Извините, разве я не ответил на это выше? Глупость - Чтобы получить триплет, вы можете использовать обычное разложение $|1/2> \times |1/2> = | 1> + |0>$ . Для термина в вашем лагранжиане, я полагаю $D^i (t^a)^{ij} D^j T^a$ делает работу.

Связь Юкавы скалярного SU(2)SU(2)SU(2)-триплета с левым фермионным SU(2)SU(2)SU(2)-дублетом

Джонатан Глисон

Ответы (1)

DJBunk

Джонатан Глисон

Джонатан Глисон

глупость

DJBunk

Комплексное представление калибровочной группы и киральная калибровочная теория

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Почему присоединенное представление имеет значение в некоторых теориях поля?

Скалярные частицы, процессы изменения вкуса и калибровочные симметрии

Калибровочная инвариантность на квантовом уровне после SSB в случае абелевой калибровочной теории

Откуда известно, что голдстоунские бозоны на самом деле становятся долготными степенями свободы в бозонах W+, W- и Z?

Выбор датчика после спонтанного нарушения симметрии

Модель Джорджи-Глэшоу и ВЭВ скалярного поля

Можете ли вы оценить симметрию U(1)LU(1)LU(1)_L?

Кинетический член SU(2) как след