В какой степени корреляционные функции определяют теорию (и лаграниан)

Наблюдаемые теории — это прежде всего наблюдаемые в алгебре$\cal A$(технически$^*$-алгебра с единицей) объектов, порожденных размытыми полями$\phi(f)$. Я имею в виду линейные комбинации$I$и продукты смазанных полей$\phi(f)$, где$f$— комплекснозначная гладкая функция с компактным носителем. Эту алгебру можно расширить, включив перенормированные объекты, такие как$\phi^n(f)$из$T_{\mu\nu}(f)$и так далее. Когда у вас есть корреляционные функции, вы можете вычислить все ожидаемые значения элементов$\cal A$. Например,

$$\langle \phi(f)\phi(g) \rangle = \int_{M\times M} G(x_1,x_2) f(x_1)g(x_2) d^nx_1 d^nx_2\:.$$ Таким образом, корреляционные функции определяют состояние $\langle \cdot \rangle$по алгебре $\cal A$. Существует соответствующая теорема, утверждающая, что при линейном отображении $\langle \cdot \rangle : {\cal A} \to C$является положительным, т.е. $\langle A^*A \rangle \geq 0$для $A\in \cal A$, так называемая теорема GNS. Эта теорема также гарантирует, что существует (однозначно определенное с точностью до унитарной эквивалентности) гильбертово пространство, в котором все может быть представлено стандартным образом (элементы $\cal A$операторы, $\langle \cdot \rangle$соответствует ожидаемому значению формы $\langle \Psi| \cdot |\Psi\rangle$). Найденное состояние можно распространить на расширенную алгебру, включающую перенормированные объекты, но здесь процедура усложняется, и я не буду вдаваться в подробности. Резюмируя: Да, при некоторых мягких гипотезах класс корреляционных функций однозначно определяет квантовую теорию. Однако нет гарантии существования лагранжиана, описывающего найденную теорию. В этом смысле корреляционные функции более фундаментальны, чем лагранжиан.