Недопустимые теоремы в исследованиях

Один из моих друзей-инженеров рассказал мне, как однажды мне пришлось сдавать экзамен по математическому анализу из-за того, что он попал в больницу и поэтому самостоятельно изучил многие пропущенные темы. Для экзамена по макияжу мы использовали правило Лопиталя, хотя нас учили этому только на 1 или 2 экзаменах позже. Мой друг сказал мне, что профессор написал

«Вам еще не разрешено использовать правило Лопиталя».

Итак, я люблю говорить, что правило Лопиталя было неприемлемо на этом экзамене.

Теперь абсолютно понятно, что если вы студент , вам не разрешено использовать предложения, теоремы и т. Д. Из будущих тем, тем более для будущих занятий и особенно для чего-то такого базового, как исчисление I. Это также имеет смысл. приспосабливаться к специальностям: конечно, математическим специальностям не должно быть позволено использовать темы дискретной математики или линейной алгебры, чтобы иметь преимущество перед своим бизнесом, наукой об окружающей среде или инженерией (которые изучают линейную алгебру позже, чем математические специальности в моем университете) одноклассники по математическому анализу I или II.

Но после курсов бакалавриата, магистратуры и докторантуры по математике вы становитесь исследователем , а не просто студентом (предполагается, что это ссылка на видео о звездных войнах) : скажем, вы пишете докторскую диссертацию по математике или даже после того, как закончили доктор философии.

Есть ли в математических исследованиях что-то недопустимое ?

Я не могу себе представить, что вам нужно что-то доказать, а затем вы находите документ, который поможет вам что-то доказать, а затем вы идете к своему консультанту, который затем говорит вам: «Вам еще не разрешено использовать теорему Пуанкаре» или что-то доказано истинное . более 12 лет назад: «Вам еще не разрешено использовать формулу дифференцирования Коши ».

На самом деле, как насчет математики, скажем, физики или информатики?

Я бы сказал, что в силу того, что меня госпитализировали, правило Лопиталя должно быть справедливой игрой.
Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат . Пожалуйста, не оставляйте ответы в комментариях. Если вы хотите обсудить практику запрета правила Лопиталя в ситуации с экзаменом, пожалуйста, напишите об этом в чате. Пожалуйста, прочтите этот FAQ , прежде чем оставлять еще один комментарий.

Ответы (14)

Ошибка, которую допустил ваш друг, заключалась не в использовании l'Hôpital, а в отсутствии доказательства ее правильности. Если бы он сформулировал Лопиталя как лемму и предоставил достаточно элементарное доказательство, то, по-видимому, у лектора не возникло бы проблем с решением.

Аналогичное явление происходит и в исследовательской математике. Существует множество фольклорных результатов , в которых исследователи почти уверены, что результат верен, и методы его доказательства известны, но никто не записал доказательство или, по крайней мере, не опубликовал его. Их можно найти, например, в классической теории регулярности уравнений в частных производных.

Нужно ли предоставлять доказательство такого результата при использовании его в качестве инструмента? Иногда люди просто ссылаются на результат, не говоря об этом явно. Иногда они доказывают это, «потому что мы не можем найти доказательства в литературе», даже если доказательство простое или не соответствует сути данной статьи. В этих случаях нет абсолютно правильного решения.

Я думаю, что фольклорные результаты настолько близки к «недопустимым», насколько это возможно в исследовательской математике; с ними надо быть осторожными, иногда их доказывать, но иногда и бездоказательно употребляют.

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

Есть ли в математических исследованиях что-то недопустимое?

Нет, но попытка доказать X без использования Y по-прежнему является очень полезной концепцией даже в исследованиях, потому что она может привести к интересным обобщениям или новым методам доказательства, которые можно применить к большему набору проблем.

Например, в каком-то смысле интеграл Лебега «просто» пытается доказать свойства интегралов, не используя непрерывность f , или теория матроидов «просто» пытается доказать свойства линейно независимых векторов, не используя множество свойства из структуры векторного пространства.

Так что это далеко не бессмысленное занятие, если вы это имели в виду.

Это отличный ответ. Существует очень широкое явление, которое можно перефразировать как «ограничение порождает творчество». Например, есть причина, по которой люди пишут хайку уже более восьмисот лет. Но одна из сути «творческих ограничений» заключается в том, что они в значительной степени устанавливаются самими собой .
отличный ответ. Однако по этому вопросу я бы сказал, что в экзаменационном задании любые такие ограничения должны быть указаны явно. Например, у нас были правила экзамена в духе «вы можете напрямую использовать все в этом списке, все остальное, что вам нужно, должно быть получено, начиная с этого списка». ИМХО, о таких правилах следует напоминать студентам, даже если они были изложены ранее в начале лекции. (Я считаю, что не делать этого как одну из форм тех плохих экзаменационных вопросов, когда студенты могут получить полные баллы только после правильного предположения, к какой концепции ведет лектор)
Однако важное замечание: я считаю, что существует очень значительная разница между доказательством результатов с использованием меньшего количества гипотез или аксиом и «притворством» незнания теорем, которые являются следствием гипотез, которые вы принимаете. Запрет л'Опиталя, хотя и предполагает более сильные результаты, такие как теорема о среднем значении и сжатии, является одновременно и плохо определенным (первая лемма моего решения может быть просто доказательством л'Опиталя), и сомнительной пользой.
@PeteL.Clark Об этом даже есть соответствующий XKCD .
Я прошел урок по истории математики, основанный на доказательствах. Мы потратили много времени на поиски доказательств того, чего можно было легко добиться с помощью современного исчисления и тригонометрии, когда все исчисление и тригонометрия были запрещены.

В том смысле, в котором вы спрашиваете, я не могу себе представить, чтобы когда-либо существовал метод, признанный неприемлемым, потому что исследователь «не готов к нему». Каждый интеллектуальный подход потенциально является честной игрой.

Однако, если конкретная цель работы состоит в том, чтобы найти альтернативный подход к установлению чего-либо, вполне может случиться так, что один или несколько предшествующих методов будут исключены из области применения, так как это будет предполагать результат, который вы хотите установить с помощью другого метода. независимый путь. Например, константа e была получена несколькими способами.

Наконец, когда вы выходите за пределы чистой теории и начинаете экспериментальную работу, необходимо также учитывать этику экспериментального метода. Многие потенциальные подходы считаются неприемлемыми из-за нежелательного характера эксперимента. В крайнем случае такие нацистские медицинские эксперименты даже со ссылками на предшествующие работы могут быть признаны недопустимыми.

Ах, вы имеете в виду, что если вы хотите, скажем, доказать формулу обращения Фурье вероятностно , вы хотели бы избежать всего, что звучит так, как то, что вы уже знаете, как доказательство(я) формулы обращения Фурье, потому что это помешает придумать другое доказательство? Или что-то вроде моего вопроса здесь ? Джейкбил, спасибо!
Re out of pure: Хорошо, теперь это кажется довольно очевидным в ретроспективе (т.е. глупый вопрос о выходе из pure). Я думаю, что это гораздо менее очевидно для чистого

Стоит отметить, что теоремы обычно неприемлемы, если они приводят к круговому доказательству теорем. Если вы изучаете математику, вы узнаете, как математические теории строятся лемма за леммой и теорема за теоремой. Эти теоремы и их зависимости образуют ориентированный ациклический граф (DAG).

Если вас просят воспроизвести доказательство определенной теоремы, а вы используете «более поздний» результат, то этот результат обычно зависит от теоремы, которую вы должны доказать, поэтому его использование не просто недопустимо по образовательным причинам, это на самом деле привело бы к неверное доказательство в контексте DAG.

В этом смысле в исследовании не может быть недопустимых теорем, потому что исследование обычно состоит в доказательстве «последних» теорем. Однако, если вы опубликуете более короткое, элегантное или красивое доказательство известного результата, вам, возможно, придется снова искать недопустимые теоремы.

+1 за явное указание того, что, кажется, было только неявным или упомянутым в комментариях к другим ответам. У меня смутные воспоминания о том, как я оценивал чей-то комплексный выпускной экзамен в Канаде, где простота алгебры матриц размера n на n (которая давала непренебрежимо малые оценки) была доказана путем обращения к структурной теореме Веддерберна...
Это правильный ответ на мой взгляд. Его можно было бы усилить, объяснив, какое отношение это имеет к l'Hopital, как в комментарии Нейта Элдриджа. Но что означает DAG?
@NoahSnyder: DAG, несомненно, означает ориентированный ациклический граф .
@JW: Спасибо! Я ожидал, что это технический термин в педагогике или философии науки, а не в математике.
Ациклический бит DAG, вероятно, сформулирован немного небрежно. Достаточно часто встречаются теоремы A и B, которые по существу эквивалентны, так что A может быть доказано из B и наоборот. Это создает очевидный цикл, но это не имеет значения. Тогда есть по крайней мере два ациклических подграфа, которые соединяют теорему для доказательства и ее аксиомы - аксиомы, являющиеся корнями графа. IOW, хотя любое конкретное доказательство ациклично, их объединение — нет.
Я полагаю, что в «Философии науки» это понятие оправдывает обвинения в круговых рассуждениях, которые иногда делаются с намерением произвести сдвиг парадигмы . Существует ли «Правило того-то и того-то», чтобы зафиксировать этот принцип (т. е. циклическое доказательство теорем не является стартовым)?
Возможно, очень распространенным примером такой цикличности (и, в частности, относящимся к контексту OP) является вычисление $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x$ с использованием l'Hôpital, когда, возможно, вычисление этого предела "вручную" "Возможно, было важно найти производную синуса в первую очередь...
@elliotsvensson: Я, вероятно, должен указать вам на en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_reducibility , но слово « аксиома» здесь уже является важной концепцией. Циклическое рассуждение по определению не может доказать теорему из постулированных аксиом, потому что оно просто доказывает, что теорема верна, если она верна, и ложна, если она ложна.
@MSalters: теоремы образуют ациклический граф. Если вы доказываете эквивалентность между теоремой1 и теоремой2, вы доказываете th2, используя уже доказанное th1. Но когда вы затем используете th2, чтобы «доказать» th1, вы на самом деле не доказываете th1. Вы не можете доказать th1 из th2, потому что вы использовали th1 для доказательства th2. Вместо этого вы доказываете «th2 -> th1». Это разница, и это скорее тот факт, что мы склонны замалчивать эти тонкие различия, что немного небрежно. (Хотя, конечно, формулировку моего ответа можно было бы улучшить во многих отношениях)
@BlindKungFuMaster: Я хочу сказать, что, когда вы можете доказать как th1, так и th2 из аксиом a1 и a2, не странно, что th1 можно альтернативно доказать из th2, а также th2 из th1. Ошибка состоит в предположении, что возможно только одно доказательство.
@MSalters: Конечно, возможны разные доказательства. Но при построении математической теории в контексте лекции вы доказываете теоремы один раз. Дальнейшие доказательства не доказывают теорему. Они доказывают эквивалентности или следствия.

Хотя в исследованиях действительно нет неприемлемых теорем, есть некоторые вещи, которых иногда стараются избегать.

На ум приходят два примера:

Во-первых, это классификация конечных простых групп. Сама классификация не особенно сложна, но доказательство до абсурда. Это заставляет математиков, работающих в области теории групп, по возможности избегать ее использования. На самом деле это довольно часто явно указывается в статье, если от этого зависит ключевой результат.

Причина такого предпочтения, вероятно, первоначально заключалась в том, что доказательство было слишком сложным, чтобы люди могли полностью доверять ему, но у меня сложилось впечатление, что это уже не так, и теперь предпочтение связано с тем, что полагаться на классификация делает «настоящую причину» истинности результата более непрозрачной и, следовательно, с меньшей вероятностью приведет к дальнейшему пониманию.

Другой пример — огромные усилия, затраченные на попытку доказать так называемую гипотезу Каждана-Люстига с использованием чисто алгебраических методов.

Сам результат носит алгебраический характер, но исходное доказательство использует множество очень глубоких результатов из геометрии, что делает невозможным его использование в качестве трамплина к настройкам, не учитывающим эту геометрическую структуру.

Такое алгебраическое доказательство было получено в 2012 году Элиасом и Уильямсоном, когда они доказали гипотезу Сергеля, одним из следствий которой является гипотеза Каждана-Люстига.

Методы, использованные в этом доказательстве, позволили сделать именно те обобщения, на которые рассчитывали, что привело сначала к опровержению гипотезы Люстига в 2013 г. (характеристический p- аналог гипотезы Каждана-Люстига), а затем к доказательству замены гипотезы Люстига в 2015 г. (для типа А ) и 2017 г. (в целом), по крайней мере, при некоторых мягких предположениях по характеристике.

Разве Элиас и Уильямсон не обосновывали гипотезу КЛ алгебраически, или я что-то неправильно помню?
@darijgrinberg Они действительно сделали это. На самом деле я хотел добавить это, но снова забыл, когда печатал. Я добавил некоторые подробности об этом.

Бывают случаи, когда исследователь ограничивает себя тем, что не использует те или иные теоремы. Пример:

Атле Сельберг, «Элементарное доказательство теоремы о простых числах». Анна. математики. (2) 50 (1949), 305-313.

Автор ограничивается использованием только «элементарных» (в техническом смысле) методов.

В других случаях могут быть доказательства в геометрии с использованием только линейки и циркуля. Гаусс показал, что правильный 257-угольник можно построить с помощью линейки и циркуля. Я бы не считал это «новым доказательством известного результата».

Так же, как Джейкбил?
Этот случай отличается тем, что исследователи просто показывают новое доказательство известной теоремы, но оно проще (или элегантнее), чем известные доказательства. В математике существует своего рода консенсус в отношении того, что более простые доказательства лучше (по многим причинам, например, их легче проверить и они обычно зависят от более слабых результатов), поэтому элементарное доказательство является оригинальным результатом исследования, даже если оно доказательство «того же типа», что и существующие (например, более простое алгебраическое доказательство, когда другое алгебраическое доказательство уже известно).
@HilderVitorLimaPereira, если я могу немного придраться, большинство людей, изучавших ее, считают элементарное доказательство теоремы о простых числах не более простым и не более элегантным, чем аналитическое семейство доказательств. Однако он более «элементарен» (в частности, не использует комплексный анализ или анализ Фурье), что также является очень важной и интересной особенностью. Несомненно, его открытие было важным результатом исследования, так что в этом смысле вы делаете хорошее и обоснованное замечание.
@DanRomik Понятно. Да, когда я сказал «более слабые результаты», я на самом деле имел в виду более элементарные результаты в том смысле, что они используют теории, которые не зависят от глубокой последовательности построений и других теорем или которые считаются базовыми знаниями в математическом сообществе. Спасибо за этот комментарий.
@HilderVitorLimaPereira, может быть, эту мысль можно назвать «более слабыми утверждениями»?

Возможно, стоит отметить, что некоторые результаты в некотором смысле неприемлемы, поскольку на самом деле они не являются теоремами. Некоторые гипотезы/аксиомы настолько важны, что широко используются, даже если они еще не установлены. Доказательства, опирающиеся на них, должны прояснить это в гипотезах. Тем не менее, было бы не так уж сложно, если бы у вас был плохой день и вы забыли, что то, что вы часто используете, на самом деле еще не доказано или что это необходимо для более позднего результата, который вы хотите использовать.

Возможно, Пуанкаре был плохим примером, потому что это была гипотеза с высокой наградой в течение некоторого времени, но давайте представим, что я использовал то, что было доказано десятилетиями. Ваш ответ сейчас...?
Существует (к сожалению...) целый спектр между «недвусмысленной теоремой» и «гипотезой» в комбинаторике и геометрии из-за того, что строгие методы отстают от тех аргументов, которые фактически используют исследователи.
@BCLC На самом деле гипотеза Пуанкаре широко «использовалась» до ее доказательства. Полученные теоремы включают гипотезу об отсутствии фальшивых 3-шаров. Но я также знаю статью, доказывающую топологический результат с использованием гипотезы обобщенного континуума.
@darijgrinberg Я не согласен с вашим утверждением. Если что-то считается истинным, независимо от того, с какой степенью уверенности, но не является «однозначной» теоремой (т. е. «теоремой»), то это гипотеза, а не «где-то в спектре между однозначной теоремой и гипотезой». Я призываю вас показать мне чистую математическую статью, опубликованную в авторитетном журнале, в которой используется другая терминология. Я почти уверен, что понимаю, к чему вы клоните, но другие, скорее всего, не поймут, и использование вами такого прилагательного, как «недвусмысленный» рядом с «теоремой», вероятно, посеет путаницу и заставит некоторых людей задуматься… .
... (неверно), что существует такая вещь, как «двусмысленные» теоремы.
@DanRomik: Наверное, я был неоднозначен. Конечно, эти вещи сформулированы как теоремы в газетах, в которых они опубликованы. Но когда вы начинаете расспрашивать людей о них, вы начинаете слышать э-э-э-э-э-э. Я не думаю, что проблема сосредоточена на определенных авторах — скорее, она специфична для определенных видов комбинаторики , и те же самые люди, которые очень ясно пишут (скажем) об алгебре, становятся расплывчатыми и туманными, когда им нужны свойства RSK или Хиллмана-Грасла. ...
@darijgrinberg хорошо, теперь я лучше понимаю, что вы имели в виду, спасибо за разъяснение. И интересный вопрос МО!

В интуиционистской логике и конструктивной математике мы пытаемся доказать вещи без закона исключенного третьего, который исключает многие из обычных инструментов, используемых в математике. И вообще в логике мы часто пытаемся что-то доказать, используя только определенный набор аксиом, что часто означает, что нам не разрешено следовать нашим «нормальным» интуициям. Особенно при доказательстве чего-либо в нескольких аксиоматических системах разной силы вы можете получить, что некоторые инструменты становятся доступными только ближе к концу (более мощные системы) и как таковые недопустимы в более слабых системах.

Это здорово, но это не то же самое, что консультант закрыл от вас части математики, если только вы оба не работаете в этой области. Аксиома выбора — еще один пример, который исследует доказательство в сокращенном пространстве. Я когда-то работал с системами с небольшим набором аксиом, в которых больше могло быть истинным, но меньшее можно было доказать. Веселье.
В том же духе работа в обратной математике обычно требует, чтобы аргументы были доказуемы из довольно слабых систем аксиом, что приводит к всевозможным осложнениям, которых не было бы при использовании стандартных наборов предположений.

Отвечая на ваш главный вопрос, нет . Ничего не запрещено. Любой консультант будет (или, по крайней мере, должен) допустить любую допустимую математику. В математике нет ничего запрещенного, особенно в докторских исследованиях. Конечно, это подразумевает принятие (утвержденное) теоремы Пуанкаре. До принятого доказательства вы не могли полагаться на него.

На самом деле, вы даже можете написать диссертацию на основе гипотезы (если верна большая теорема профессора Баффи, то отсюда следует, что...). Вы можете исследовать последствия недоказанных вещей. Иногда это помогает связать их с известными результатами, что приводит к доказательству «большой теоремы», а иногда помогает привести к противоречию, показывающему ее ложность.

Тем не менее, у меня есть проблема с тем, что вы рассказали о том, что уместно в обучении и экзаменах студентов. Я сомневаюсь в мудрости первого профессора, запрещающего все, что знает студент. Это кажется недальновидным и превращает профессора в ворота, через которые просачиваются только некоторые вещи.

Конечно, если профессор хочет проверить студента по определенной технике, он может попытаться найти вопросы, которые делают это, но это также указывает на основную глупость экзаменов в целом. Есть и другие способы убедиться, что ученик усвоил основные приемы.

Университетское образование — это не соревнование с другими студентами и (ужас) проблема несправедливого преимущества. это об обучении. Если профессор или система оценивает студентов на конкурсной основе, они плохо справляются со своей работой.

Если у вас есть 20 абсолютно лучших студентов в мире и оценки чисто конкурсные, то половина из них будет ниже среднего.

Я чувствую, что вы неправильно поняли вопрос.
Каким образом, пожалуйста, @JessicaB?
@Buffy: На самом деле вопрос был не о классе. Вопрос был о том, существуют ли «недопустимые» вещи на уровне выпускников.
@cHao, пожалуйста, посмотрите длинный абзац, в котором это прямо сказано.
@Buffy: Но остальные 2/3 ответа касаются примера с классной комнатой. Ответ на актуальный вопрос может легко затеряться в шуме.
@cHao, я немного передвинул его. Надеюсь, ты больше не будешь возражать.
@Баффи: работает для меня. Вот, проголосуйте. :)
Одна из причин «запретить» еще не изученные результаты состоит в том, что это помогает избежать круговой логики. Стандартный пример: студента просят показать, что lim_{x -> 0} sin(x)/x = 1. Студент применяет правило Лопиталя, используя тот факт, что производная sin(x) есть cos(x ). Однако обычный способ доказательства того, что производная от sin(x) равна cos(x), требует знания значения lim_{x -> 0} sin(x)/x. Если вы «запретите» правило Лопиталя при решении исходной проблемы, вы предотвратите возникновение этой проблемы.
@NateEldredge, если вы скажете «докажите «X», не используя L'Hôpital, то это справедливый вопрос. Но без этого квалификатора, как вы можете постфактум справедливо понизить оценку учащегося? Я бы назвал "фол". Так что да, запретите это, если хотите, но сделайте это явным. В этой установке такого не было.
Что ж, у вас может быть постоянный курс политики, чтобы не предполагать результаты, которые еще не доказаны. Это достаточно распространено, и инструктор мог предположить, что это само собой разумеющееся. Или понижение могло быть на самом деле связано с круговой логикой, но рассуждения были плохо объяснены или неправильно поняты.
@NateEldredge, то, что ты говоришь, кажется разумным, но не в этом случае. Студент был госпитализирован и занимался самостоятельно. Это само по себе было помехой. Теперь, если вы хотите наложить (постфактум) еще один гандикап, я объявляю «фол». Именно поэтому экзамены являются такой плохой заменой гарантии обучения. Инструктор не может, разумно, думать обо всем. Не следует ожидать, что ученик знает секретные мета-правила. Да, студенту нужно понимать круговые рассуждения, но экзамен — плохое средство для этого. Одно только давление заставляет вас ухватиться за первое разумное решение.
@Buffy Но где тогда провести черту? Скажем, на экзамене по теории групп требуется показать, что группа определенного порядка не является простой. Должен ли студент разрешать просто заявить «следует из классификации» или, может быть, просто (в случае нечетного порядка) «следует из Фейт-Томпсона»?
@TobiasKildetoft, где я провожу черту, слишком сильно зависит от экзаменов. Но если учащийся дает нестандартный ответ, вместо того, чтобы просто отметить его неправильно , вы можете изучить вместе со учащимся, что происходит, и, возможно, улучшить его/ее понимание. Заставьте студентов работать, а не просто запоминать материал в условиях высокого давления.
Баффи, копия @NateEldredge Как это секретное мета-правило не использовать будущие главы? Ах, хорошо, я думаю, я вижу недоразумение. Правило Лопиталя в нашем учебнике (Стюарт) находится в главе 4, в то время как экзамен (я забыл, был ли это второй экзамен или промежуточный) охватывает не более глав 1–3. Это не тот случай, когда правило Лопиталя было обсудили вместе с темами глав 1-3, а затем сказали, что для экзамена правило Лопиталя не будет разрешено. Я считаю, что это должно было быть ясно, потому что комментарий был: «Вам еще не разрешено использовать правило Лопиталя». Затем снова...
... я предполагаю, что можно начать главу 4 даже до того, как все экзамены по главам 1-3 будут завершены, например, глава 3 закончена в понедельник, глава 4 начинается во вторник, но тогда экзамен по главе 3 будет в пятницу. Таким образом, правило Лопиталя можно обсудить до экзамена по главе 3, но экзамен по главе 3 не позволяет использовать правило Лопиталя. Это то, что вы имели в виду? Возможно, тогда я был непонятен. В этом случае я мог бы заменить правило Лопиталя сходимости рядов или многомерных пределов. Но суть вопроса не в этом...
@BCLC, я не понимаю комментарий. Если указано явное правило, то у меня с ним проблем нет. Не должен и студент. Но в исходном вопросе об этом не говорилось.
Представьте, что я сказал сходимость рядов вместо правила Лопиталя. Ваш ответ меняется?
Извините, я не собираюсь строить догадки. Это превратилось в бесконечный спор. Оно теряет смысл. Учтите, пожалуйста, мои комментарии об экзаменах в целом.
Я согласен с позицией @NateEldredge. Этот вопрос уже обсуждался здесь .
Избегать круговой логики кажется хорошей идеей, но это обходит стороной вопрос определений. Если я определяю sin(x) в терминах степенного ряда или комплексной экспоненты, не очевидно , почему мне нужен предел sin(x)/x, чтобы дифференцировать его, даже если для этого может быть какая-то глубокая причина. Или мне нужно доказать, что мое определение sin(x) имеет что-то общее с геометрией кругов, прежде чем я смогу использовать его на экзамене???
Я думаю, что правило Лопиталя уникально пагубно и приводит к тому, что учащиеся не узнают о пределах и сразу же забывают все о пределах, что по существу не имеет хороших параллелей где-либо еще в начальной математической программе. Поэтому я не думаю, что вы можете заменить его чем-то другим и задать тот же вопрос. Кто-то, кто использует L'Hopital, чтобы сказать вычислить \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{x}, не демонстрирует более глубокого понимания материала, он показывает, что не понимает материал !

Я не думаю, что в исследованиях существуют неприемлемые теоремы, хотя, очевидно, нужно следить за тем, чтобы не полагаться на предположения, которые еще предстоит доказать для конкретной проблемы.

Тем не менее, с точки зрения докторской или постдокторской работы, я чувствую, что некоторые подходы могут быть довольно «не по теме» из-за не совсем академических причин. Например, если вы получаете финансирование докторской диссертации для изучения темы X, вы обычно не должны использовать его для изучения Y. Точно так же, если вы получаете постдока в команде, которая разрабатывает метод A, и вы хотите изучить метод вашего конкурента B, ваш PI может захотеть ограничить время, которое вы тратите на B, чтобы оно не превышало время, которое вы тратите на разработку A. Некоторые PI довольно печально известны в том смысле, что они не потерпят, чтобы вы даже коснулись какого-либо метода C, из-за их важные причины, поэтому, даже если у вас есть полная академическая свобода пойти и изучить метод C, если вам это нравится, это может быть «недопустимо» делать это в рамках вашей текущей работы.

Спасибо Дмитрию Савостьянову! Звучит как то, что я имел в виду, но это для прикладных исследований? Или также для теоретических исследований?
Даже в чистой математике люди иногда могут защищать. А люди, занимающиеся прикладной математикой, могут быть очень открытыми. Возможно, это больше о личных подходах к науке.
Спасибо Дмитрию Савостьянову. я знал, что должно быть что-то вроде этого. omoidoori x3 (как говорит Лайт Ягами)

Я собираюсь изложить соответствующую точку зрения не из академических кругов, а именно из коммерческой/государственной исследовательской организации.

Я сталкивался с исследователями и менеджерами, которым мешает то, что я называю экзаменационной ментальностью , когда они предполагают, что на исследовательский вопрос можно ответить только с предоставленным набором данных, и не могут ссылаться на другие данные, результаты, исследования и т. д.

Я обнаружил, что этот экзаменационный менталитет чрезвычайно ограничивает и возникает из-за того, что у исследователя или менеджера неправильное представление об исследованиях, которое было внушено их (в основном основанным на экзаменах) образованием.

Дело в том, что неиспользование данных/методов/исследований на произвольных основаниях душит исследования. Это приводит к тому, что коммерческие организации упускают возможности для получения прибыли или упускают последствия, когда правительства вводят новую политику, или упускают побочные эффекты новых лекарств и т. д.

интересная перспектива. спасибо пользователю 47796!

Я добавлю небольшой пример из теоретической информатики и разработки алгоритмов.

Очень важной открытой проблемой является поиск комбинаторного (или даже основанного на LP) алгоритма, который достигает границы Гоеманса-Вильямсона (0,878) для аппроксимации задачи MaxCut за полиномиальное время.

Мы знаем, что, используя методы полуопределенного программирования, ограничение коэффициента аппроксимации альфа = 0,878 может быть достигнуто за поли-время. Но можем ли мы достичь этой границы, используя другие методы? Чуть менее амбициозный, но, вероятно, не менее важный вопрос: можем ли мы найти комбинаторный алгоритм с гарантией аппроксимации лучше, чем 1/2?

Лука Тревизан добился значительного прогресса в этом направлении, используя спектральные методы.

ах, ответ информатики! Спасибо PsySp!

Аксиома выбора (и ее следствия) в наши дни довольно хорошо принята в математическом сообществе, но вы можете время от времени сталкиваться с несколькими математиками старой школы, которые думают, что она «неверна», и поэтому любое следствие, которое вы используете, аксиома выбора для доказательства также «неверна». (Конечно, что вообще означает «неверность» аксиомы выбора — вопрос в значительной степени философский.)

В исследовании вы будете использовать наиболее применимый метод (известный вам) для демонстрации решения и, возможно, также будете в ситуациях, когда вас спросят или предложат альтернативные подходы к вашему решению (а затем вы изучите новый метод).

В примере, где правило Лопиталя было «не разрешено», возможно, вопрос можно было бы сформулировать лучше, поскольку он звучит как вопрос «решите это», предполагая, что только методы, изучаемые в курсе, известны студентам и поэтому на экзамене будут использоваться только методы, изучаемые в курсе.

В вопросе не было двусмысленности. С правилом Лопиталя мы познакомились только на третьем или четвертом экзамене. Мой друг-инженер готовился либо к нашему второму экзамену, либо к промежуточному экзамену, либо к тому и другому (я забыл). Это было бы похоже на использование определения непрерывности последовательности на первом экзамене в классе элементарного анализа, если бы такой класс преподает последовательности в последнюю очередь (как это делал мой)
Я понимаю это, но когда он был введен, это не имеет никакого отношения к тому, могут ли студенты уже знать, как его использовать. Это то же самое, что спросить: «Покажите, что первая производная от x^2 равна 2x, а затем сказать учащимся, которые решили эту задачу, используя неявное дифференцирование, что это недопустимо, и что они должны были использовать явное дифференцирование.
Мик, но это был экзамен по макияжу. Было бы несправедливо по отношению к студентам, которые сдали экзамен вовремя, потому что мы не знали правила Лопиталя в то время?
Дело не в том, чтобы быть справедливым. Речь идет о построении математики на себе. Часто от вас ожидают, что вы будете решать проблемы определенным образом, чтобы убедиться, что вы понимаете, что более поздние вещи позволяют вам упростить или проигнорировать. Если был предполагаемый метод, он должен был быть в инструкции. Но распространено мнение, что если вас этому не учили, значит, вы этого еще не знаете.
Не отрицая других предположений о том, почему это может быть запрещено, справедливость по отношению к другим учащимся не имеет значения. Цель экзамена — оценить или подтвердить то, что вы узнали, а не решить, кто выиграет соревнование.
Недопустимые теоремы в исследованиях
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v