«Хорошие состояния» в вырожденной теории возмущений

Нулевой порядок теории возмущений

Отправной точкой для теории возмущений является нулевой порядок, когда мы игнорируем возмущение и фокусируемся на свободном гамильтониане,$H_0$. Чтобы вырожденная теория возмущений была актуальной, должен быть случай, когда свободный гамильтониан имеет по крайней мере один вырожденный энергетический уровень. Любая остаточная симметрия может быть использована для классификации состояний после снятия вырождения.

Чтобы сделать это конкретным, предположим, что при энергии$E$, существует двумерное вырожденное подпространство. Скажем так$|a\rangle$и$|b\rangle$составляют основу этого подпространства. Тогда существует бесконечное число состояний, обладающих энергией$E$, формы$c_1 | a\rangle + c_2 |b\rangle$, где$|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1$. Более конкретно, для всех пар комплексных чисел$c_1$и$c_2$подчиняясь условию нормировки,

$$\begin{equation} H_0 \left(c_1 | a \rangle + c_2 | b \rangle \right) = E\left(c_1 | a \rangle + c_2 | b \rangle\right) \end{equation}$$ Другими словами, все состояния в этом двумерном пространстве имеют одинаковую энергию.$E$, и все они являются собственными состояниями свободного гамильтониана.

Первый порядок теории возмущений

Теперь мы переходим к первому порядку теории возмущений и добавляем гамильтониан возмущения,$H_1$. Обычно результатом возмущения является снятие вырождения состояний с энергией$E$. Это означает, что энергетический уровень$E$будет разделен на два энергетических уровня, один с энергией$E + \delta E_1$и один с энергией$E + \delta E_2$, с$\delta E_1 \neq \delta E_2$.

В результате общее состояние формы$c_1 |a \rangle + c_2 | b \rangle$, которое было собственным состоянием свободного гамильтониана$H_0$с энергией$E$, не будет собственным состоянием полного гамильтониана$H_0 + H_1$.

Однако будет существовать особая пара собственных состояний свободного гамильтониана, которую мы будем называть$|A \rangle$и$|B \rangle$, которые также являются собственными состояниями$H_0 + H_1$, с энергиями$E+\delta E_1$и$E + \delta E_2$, соответственно. Это так называемые «хорошие состояния». Позвольте мне пройтись по некоторым их свойствам, а затем рассказать о том, как их найти.

Свойства «хороших» и «плохих» состояний

Выпишем некоторые свойства этих особых состояний$|A \rangle$и$|B \rangle$, а также не очень специальные состояния$|a\rangle$и$|b\rangle$, в уравнениях.

• Во-первых, поскольку$|A\rangle$и$|B\rangle$являются членами вырожденного подпространства$H_0$с энергией$E$, их можно разложить по$|a\rangle$и$|b \rangle$ $$\begin{eqnarray} |A \rangle &=& \alpha_1 | a \rangle + \alpha_2 | b \rangle \\ | B \rangle &=& \beta_1 | a \rangle + \beta_2 | b \rangle \end{eqnarray}$$ где$\alpha_{1, 2}$и$\beta_{1,2}$являются комплексными числами (вы можете думать о них как о конкретных вариантах выбора$c_1$и$c_2$). Вы также можете выразить$|a \rangle$и$|b\rangle$с точки зрения$|A\rangle$и$B\rangle$ $$\begin{eqnarray} |a \rangle &=& \gamma_1 | A \rangle + \gamma_2 | B \rangle \\ | b \rangle &=& \lambda_1 | A \rangle + \lambda_2 | B \rangle \end{eqnarray}$$
• Второй,$|A\rangle$и$|B\rangle$являются собственными состояниями свободного гамильтониана$H_0$с энергией$E$, значение $$\begin{eqnarray} H_0 | A \rangle &=& E | A \rangle \\ H_0 | B \rangle &=& E | B \rangle \end{eqnarray}$$ Конечно,$|a \rangle$и$|b\rangle$также являются собственными состояниями$H_0$ $$\begin{eqnarray} H_0 | a \rangle &=& E | a \rangle \\ H_0 | b \rangle &=& E | b \rangle \end{eqnarray}$$
• Третий,$A\rangle$и$|B\rangle$являются собственными состояниями$H_0 + H_1$, но уже с другими энергиями $$\begin{eqnarray} \left(H_0 + H_1\right) | A \rangle &=& \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle \\ \left(H_0 + H_1\right) | B \rangle &=& \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \end{eqnarray}$$ Однако ,$|a \rangle$и$| b \rangle$не являются собственными состояниями$H_0 + H_1$, с $$\begin{eqnarray} \left(H_0 + H_1\right) | a \rangle &=& \gamma_1 \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle + \gamma_2 \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \\ \left(H_0 + H_1\right) | b \rangle &=& \lambda_1 \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle + \lambda_2 \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \end{eqnarray}$$

Поскольку мы хотим найти собственные состояния полного гамильтониана,$H_0 + H_1$, мы явно хотим работать с$|A\rangle$и$|B\rangle$вместо$|a \rangle$и$|b\rangle$(или любое другое из бесконечного числа состояний, которые являются собственными состояниями$H_0$с энергией$E$). Тем не менее, нахождение$|A\rangle$и$|B\rangle$может быть сложно.

Поиск хороших состояний

Я не буду пытаться дать общий алгоритм построения хороших состояний (хотя это можно сделать). Вместо этого я просто укажу, что часто вырождения в спектре свободного гамильтониана возникают из-за наличия симметрии. Гамильтониан возмущения стремится нарушить симметрию.

Для конкретности предположим, что$H_0$является осесимметричным. Это означает, что он коммутирует со всеми тремя компонентами углового момента,$L_i$, где$i=\{x, y, z\}$. У нас есть

$$\begin{equation} [H_0, L_i] = 0 \end{equation}$$ Это происхождение маркировки состояний водорода$|n, \ell, m \rangle$; в$\ell, m$квантовые числа - это собственные значения, связанные с$L^2$и$L_z$, соответственно.

Теперь, как правило, гамильтониан возмущения нарушает симметрию, поэтому некоторые операторы симметрии не будут коммутировать с$H_1$. Давайте рассмотрим эффект Штарка, где мы добавляем электрическое поле в$z$направление. Затем$L_x$и$L_y$не будет ездить с$H_1$. В результате мы ожидаем состояния с разными$\ell$значения (собственное значение$L^2$) иметь разные энергии - потеря симметрии сняла существовавшее ранее вырождение. Однако,$L_z$ездит с$H_1$(поскольку система по-прежнему симметрична относительно поворотов вокруг$z$ось). Это значит, что$L_z$удовлетворяет свойству

$$\begin{equation} [H_0, L_z] = [H_1, L_z] = 0 \end{equation}$$ Это означает, что мы можем одновременно диагонализовать свободный гамильтониан,$H_0$, полный гамильтониан,$H_0 + H_1$, и$z$-компонента оператора углового момента$L_z$. собственные состояния$L_z$легко найти. И, поскольку эти состояния являются собственными состояниями обоих$H_0$и$H_0+H_1$, они будут удовлетворять всем свойствам$|A\rangle$и$|B\rangle$состояния, приведенные выше, -- собственные состояния$L_z$являются хорошими состояниями.

В общем случае, если мы можем найти эрмитов оператор$O$который ездит с$H_0$и$H_1$, то собственные состояния$O$являются хорошими состояниями для вырожденной теории возмущений.