Несколько основных вопросов об инстантонах

1) Предположим, что у вас есть две конфигурации (здесь я использовал кулоновскую калибровку с евклидовым временем).$\tau$):

$$\tag 0 A_{i}(x) = \begin{cases} 0 = U^{(0)}\partial_{i}(U^{(0)})^{-1}, \quad \tau = -\infty \\ U^{(1)}\partial_{i}(U^{(1)})^{-1}, \quad \tau = \infty\end{cases}$$ Такая ситуация описывает туннелирование между вакуумами с топологическими зарядами $0$и $1$. Далее вам нужно вычислить инвариант Маурера-Картана (см. $(1)$), который для данной конфигурации равен 1. Это можно показать калибровочной инвариантностью этой величины и интегрированием по поверхности цилиндра, в котором $z$ось обозначает время, а «перпендикулярные» направления обозначают пространственные координаты, что равно $$n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\left(\int d^{3}\mathbf r\epsilon_{ijk}\text{Tr}A_{i}A_{j}A_{k}\right)_{\tau = -\infty}^{\tau = \infty} = |(0)| = n[U^{(1)}] - n[U^{(0)}]$$ Чтобы вы видели, что в кулоновской калибровке $A_{0} = 0$раствор инстантона $(0)$действительно описывает туннелирование между вакуумами с топологическими зарядами $0$и $1$. Поскольку каждый инстантон с произвольным топологическим значением может быть описан как множество инстантонов с топологическим значением $1$(см. 4)), а в силу калибровочной инвариантности $n$, указанный выше результат верен для конфигурации с произвольным числом $n$и для каждого калибра.

2) Да, инстантоны — это решения классических уравнений движения. Но только квантовая система может быть описана как суперпозиция различных состояний. В случае теорий с нетривиальными топологическими свойствами состояние теории в общем случае равно

$$|\text{vac}\rangle = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c(n)| n\rangle$$ Из-за возможности туннелирования между вакуумами с разными значениями $n$ $c(n)$не равен нулю для всех $n$. Можно показать, что $c(n) = e^{-i\theta n}$, где $\theta$произвольный параметр. Это, конечно, невозможно в классической теории.

3) В общем надо найти$U(x)$так что он имеет определенный топологический заряд. Когда вы его найдете, вы получите решение с правильной асимптотикой. Например, из-за того, что$U^{-1} = \tau_{\alpha}n_{\alpha}$, где$\tau_{\alpha}$является$SU(2)$генератор групп и$n_{\alpha}$является единичным 3-вектором, соответствует топологическому заряду$1$, выполняется следующее соотношение:

$$U^{-1}\partial_{\mu}U = -i\bar{\eta}_{\mu \alpha a}\frac{n_{\alpha}}{r}\tau_{a} \sim \frac{1}{r},$$ что достаточно для конечности действия. Здесь $\bar{\eta}_{\mu \alpha a}$является антисамодуальным символом Т'Хофта.

Связь между конечностью действия и между конфигурациями с разными топологическими зарядами следует из неравенства Богомольного.

4) Два разных$SU(2)$элементы$U^{(1)}(x),U^{(2)}(x)$соответствует различным значениям инварианта Маурера-Картана:

$$\tag 1 n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d\sigma_{\mu}\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}\text{Tr}[\rho_{\nu}\rho_{\rho}\rho_{\sigma}],$$ где $$\rho_{\alpha} \equiv U\partial_{\alpha}U^{-1}$$ Эта величина инвариантна относительно малых возмущений $U \to U + \delta U$и при замене координат $x \to x{'}$. Это означает, что $U^{(1)}$и $U^{(2)}$топологически неэквивалентны, так как существует закон сохранения топологического заряда: непрерывное преобразование $U^{(1)}$который превращает его в $U^{(2)}$не существует. Однако в принципе конфигурация с топологическим зарядом $2$может быть представлено как множество конфигураций с суммарным топологическим зарядом $2$.