Я изучаю солитон (уединенные волны). Есть много теорий, которые объясняют это явление, например модель синуса-Гордона . Но у модели синуса-Гордона есть ограничения, когда она применяется к 4 измерениям, потому что она действительна только для двух измерений.
Итак, какие темы/теории будут рассмотрены для полного понимания солитонов?
Солитоны волшебны в том смысле, что точное решение нелинейной теории поля встречается редко, и не существует реального систематического способа ее решения. Кажется, я припоминаю, что в учебнике Хосе и Салетана по классической динамике есть хорошее обсуждение солитонов с синусоидальными уравнениями Гордона и Кортвейга-де Фриза в качестве примеров выбора.
Говорят также о «солитонах» для нелинейных уравнений Максвелла-Власова в физике плазмы, но это не солитоны в смысле гамильтоновой теории поля.
Теория КДВ основана на приближениях к определяющим уравнениям и, следовательно, является слабо нелинейной. Полностью нелинейные внутренние уединенные волны могут быть получены с помощью уравнения Дюбрейля-Жакотина-Лонга (ДЖЛ) [Long, 1953], для которого существуют специальные нелинейные случаи, поддающиеся аналитическим методам. Уравнение DJL является формальным эквивалентом уравнений Эйлера, которые дают решения для установившихся NLIW произвольной амплитуды в непрерывно стратифицированных, несжимаемых, невязких жидкостях. Его решение может быть использовано в качестве начального условия в численной модели и включает в себя решение эллиптической задачи на собственные значения для функции тока, дающей бесконечное количество внутренних волновых мод, где самая низкая мода также является самой быстрой. В ряде исследований были найдены численные решения уравнения DJL, Глубокие уединенные волны второй моды были впервые исследованы Бенджамином [1966], Дэвисом и Акривосом [1967], Тунгом и др. [1982]. Одним из ограничений является то, что, поскольку эта теория устойчива, она не развивается во времени.
Солитоны — это просто нелинейные волны. Они возникают практически в любой нелинейной системе, подобно обычным (линейным) волнам, характеризующим возбуждения в различных системах (волны деформации, акустические волны, электромагнитные волны). Отличительной чертой солитона является его локализованность в пространстве. Обычно солитон имеет колоколообразную форму (иногда такой тип называют «динамическим солитоном»), ударно-волновую или кинковую форму (называемую «топологическим солитоном»). Еще одной особенностью солитона является то, что он ведет себя как частица при взаимодействии с другим солитоном или каким-либо препятствием (потенциалом). Раньше (в 60-80-х годах 20 века) термином "солитон" называли только возбуждения в интегрируемых системах (таких как модель синус-Гордон, уравнение КдФ, нелинейное уравнение Шредингера и т.д.). Но сегодня,
Для начинающих я бы рекомендовал книгу М. Ремуасне "Волны, называемые солитонами", которая является хорошим введением в тему. Также есть относительно старая, но все же хорошая и короткая книга П. Бхатнагара "Нелинейные волны в одномерных дисперсионных системах".
Лазерный мальчик