Невежество в статистической механике

Считайте эту копейку на моем столе. Это конкретный кусок металла, хорошо описываемый статистической механикой, которая приписывает ему состояние, а именно матрицу плотности р 0 знак равно 1 Z е − β ЧАС (в самой простой модели). Это оператор в пространстве функций, зависящий от координат огромного числа Н частиц.

Интерпретация статистической механики с точки зрения невежества, ортодоксия, на которую опираются все введения в статистическую механику, утверждает, что матрица плотности является описанием невежества и что истинное описание должно быть описанием в терминах волновой функции; любое чистое состояние, согласующееся с матрицей плотности, должно давать тот же макроскопический результат.

Однако было бы очень удивительно, если бы Природа менял свое поведение в зависимости от того, насколько мы ее игнорируем. Таким образом, разговоры о невежестве должны иметь объективную формализуемую основу, независимую от чьего-либо конкретного невежественного поведения.

С другой стороны, статистическая механика всегда работает исключительно с матрицей плотности (кроме самого начала, где это мотивировано). Нигде (кроме этого) не используется предположение, что матрица плотности выражает невежество. Таким образом, мне кажется, что вся концепция невежества является ложной, пережитком первых дней статистической механики.

Поэтому я хотел бы предложить защитникам православия ответить на следующие вопросы:

(i) Можно ли экспериментально проверить утверждение, что матрица плотности (скажем, канонический ансамбль, который правильно описывает макроскопическую систему, находящуюся в равновесии) описывает невежество? - Если да, то как и чье невежество? - Если нет, то почему предполагается такое толкование невежества, хотя от него вообще ничего не зависит?

(ii) В эксперименте с мыслью предположим, что Алиса и Боб по-разному не знают о системе. Таким образом, знания Алисы составляют матрицу плотности р А , тогда как знания Боба составляют матрицу плотности р Б . Данный р А а также р Б , как в принципе можно проверить, согласуется ли описание Боба с описанием Алисы?

(iii) Как решить, является ли чистое состояние ψ адекватно представлено состоянием статистической механики р 0 ? В терминах (ii) предположим, что Алисе известно истинное состояние системы (в соответствии с невежественной интерпретацией статистической механики чистое состояние ψ , соответствующий р А знак равно ψ ψ * ), тогда как Боб знает только описание статистической механики, р Б знак равно р 0 .

Предположительно, должна быть своего рода количественная мера М ( р А , р Б ) ≥ 0 что исчезает, когда р А знак равно р Б ) и говорит, насколько совместимы эти два описания. В противном случае, что может означать, что два описания непротиворечивы? Однако математически естественный кандидат, относительная энтропия (= дивергенция Кульбака-Лейблера) М ( р А , р Б ) , след р А журнал ⁡ р А р Б , [редактировать: я исправил ошибку со знаком, указанную в обсуждении ниже] не работает. Действительно, в ситуации (iii) М ( р А , р Б ) равно ожидаемому β ЧАС + журнал ⁡ Z в чистом виде; это минимально в основном состоянии гамильтониана. Но это означало бы, что основное состояние будет наиболее соответствовать матрице плотности при любой температуре, а это неприемлемое условие.

Изменить: после прочтения статьи http://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.paradox.pdf ET Jaynes, указанной в обсуждении ниже, я могу уточнить запрос в (iii): в терминологии п.5 там, матрица плотности р 0 представляет собой макросостояние, а каждая волновая функция ψ представляет собой микросостояние. Тогда возникает вопрос: когда может (или не может) микросостояние ψ рассматриваться как макросостояние р 0 без ущерба для предсказуемости макроскопических наблюдений? В приведенном выше случае, как мне вычислить температуру макросостояния, соответствующую конкретному микросостоянию ψ чтобы макроскопическое поведение было одинаковым — если оно есть, и какой критерий позволяет мне решить, является ли (данный ψ ) это приближение разумно?

Пример, когда нецелесообразно рассматривать ψ как канонический ансамбль, если ψ представляет собой составную систему, состоящую из двух кусков копейки при разной температуре. Ясно, что ни один канонический ансамбль не может макроскопически правильно описать эту ситуацию. Таким образом, искомый критерий должен быть в состоянии сделать выбор между состоянием, представляющим такую ​​составную систему, и состоянием монетки с одинаковой температурой, и в последнем случае должен дать рецепт, как присвоить температуру ψ , а именно температуру, которую мне позволяет измерять природа.

Температура моего пенни определяется природой, следовательно, должна определяться микросостоянием, которое претендует на полное описание пенни.

Я никогда не видел обсуждения такого критерия идентификации, хотя они необходимы, если кто-то хочет передать идею, лежащую в основе интерпретации неведения, о том, что полностью определенное квантовое состояние должно быть чистым состоянием.

Часть обсуждения этого сейчас находится по адресу: http://chat.stackexchange.com/rooms/2712/discussion-between-arnold-neumaier-and-nathaniel .

Редактировать (11 марта 2012 г.): я принял ответ Натаниэля как удовлетворительный при данных обстоятельствах, хотя он забыл упомянуть четвертую возможность, которую я предпочитаю; а именно, что полное знание о квантовой системе фактически описывается матрицей плотности, так что микросостояния представляют собой произвольные матрицы плотности, а макросостояние — это просто матрица плотности особой формы, с помощью которой произвольное микросостояние (матрица плотности) может быть хорошо аппроксимировано когда интерес представляют только макроскопические следствия. Эти специальные матрицы плотности имеют вид р знак равно е − С / к Б с простым оператором С - в равновесном случае линейная комбинация 1, ЧАС (и различные числовые операторы Н Дж если они сохраняются), определяя канонический или большой канонический ансамбль. Это согласуется со всей статистической механикой и имеет преимущество простоты и полноты по сравнению с интерпретацией неведения, которая нуждается в дополнительном качественном понятии незнания, а вместе с ним и во всевозможных вопросах, на которые слишком неточны или слишком трудно ответить.

Разве это не та же проблема, с которой «сталкивается» школа MaxEnt (пугающие кавычки, потому что на самом деле это не так), что физика, кажется, меняется в зависимости от того, сколько человек предпочитает игнорировать? Решение состоит в том, что в конечном итоге человек занимается наукой, поэтому необходимо условие вроде «этот набор управляющих переменных эмпирически достаточен для управления выходными данными».
Наука должна быть объективной, независимой от наблюдателя, следовательно, она не должна зависеть от выбора наблюдателя. Таким образом, какой бы ни был выбор, должен быть объективный способ его оценки. - Я проанализировал максимальную энтропию в разделе 10.7 своей книги lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 « Классическая и квантовая механика с помощью алгебр Ли» и обнаружил, что она недостаточна: ) вы получаете совершенно неверные результаты, явно противоречащие эксперименту. Чтобы получить правильную теорию, вы должны знать хотя бы все, что имеет значение для системы!
@ArnoldNeumaier да, но «все, что имеет значение для системы [по данным макроскопических инструментов]»! = все. MaxEnt основан именно на игнорировании микроскопических деталей, которые не имеют никакого значения для макроскопического состояния, и в то же время не игнорирует ничего, что имеет значение. Игнорировать вещи, которые не имеют никакого значения, хорошо, потому что это означает, что вам не нужно их вычислять!
Арнольд, возможно, это второстепенный момент, но использование канонического ансамбля подразумевает, что пенни находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Это означало бы, что копейка связана с окружающей средой и, следовательно, не может быть описана чистым состоянием. Ваши вопросы не кажутся такими острыми, если они заданы микроканоническому ансамблю.
@BebopButUnsteady: Пенни, по предположению, находится в тепловом равновесии, но не обязательно должен быть в равновесии с окружающей средой (например, если я только что открыл окно, тем самым изменив окружающую среду). - Но любое макроскопическое тело (не только копейка, и не только в каноническом ансамбле и даже вдали от равновесия) всегда запутан со своим окружением. Следствием этого является то, что ни одному макроскопическому объекту нельзя приписать чистое состояние даже в принципе. Но это категорически противоречит невежественной интерпретации статистической механики. Таким образом, сторонникам ортодоксальности нужно защищать больше!
Я не уверен, почему тот факт, что «ни одному макроскопическому объекту нельзя присвоить чистое состояние», является проблемой для интерпретации невежества. Человек просто ничего не знает о матрице уменьшенной плотности, а не о состоянии. (Также я думаю, что цитата чувствительна к интерпретации QM). Что касается моей точки зрения, то, возможно, я должен сказать, что вопрос заключается в том, связана ли пенни вообще с окружающей средой. Если это не так, его энергия сохраняется и хорошо определена, и поэтому канонический ансамбль не подходит. Если он связан, то мы не ожидаем, что он будет в чистом виде.

Ответы (3)

Я бы не сказал, что интерпретация невежества является пережитком первых дней статистической механики. Впервые он был предложен Эдвином Джейнсом в 1957 году (см. http://bayes.wustl.edu/etj/node1.html )., документы 9 и 10, а также номер 36 для более подробной версии аргумента) и до недавнего времени вызывали споры. (Джейнс утверждал, что интерпретация невежества подразумевалась в работах Гиббса, но сам Гиббс никогда не разъяснял ее.) До недавнего времени большинство авторов предпочитало интерпретацию, в которой (по крайней мере, для классической системы) вероятности в статистической механике представляли дробь время, которое система проводит в каждом состоянии, а не вероятность того, что она находится в конкретном состоянии в настоящее время. Эта старая интерпретация делает невозможным рассуждения о переходном поведении с помощью статистической механики, и именно это, в конечном счете, делает полезным переход на интерпретацию неведения.

В ответ на ваши пронумерованные пункты:

(i) Я отвечу на "чье невежество?" часть первая. Ответом на это является «экспериментатор, имеющий доступ к макроскопическим измерительным приборам, которые могут измерять, например, давление и температуру, но не могут определить точное микроскопическое состояние системы». Если бы вы точно знали лежащую в основе волновую функцию системы (вместе с полной волновой функцией всех частиц в термостате, если таковая имеется, вместе с гамильтонианом для комбинированной системы), тогда вообще не было бы необходимости использовать статистическую механику. , потому что вместо этого вы можете просто проинтегрировать уравнение Шредингера. Невежественная интерпретация статистической механики не утверждает, что Природа меняет свое поведение в зависимости от нашего невежества; скорее, в нем утверждается, что статистическая механика — это инструмент, который полезен только в тех случаях, когда у нас есть некоторое незнание основного состояния или его эволюции во времени. Учитывая это, на самом деле не имеет смысла спрашивать, может ли интерпретация неведения быть подтверждена экспериментально.

(ii) Я думаю, это зависит от того, что вы подразумеваете под «совместимым с». Если два человека имеют разные знания о системе, то в принципе нет причин, по которым они должны соглашаться в своих прогнозах относительно ее будущего поведения. Однако я вижу один способ подойти к этому вопросу. Я не знаю, как выразить это в терминах матриц плотности (квантовая механика не совсем моя тема), поэтому давайте переключимся на классическую систему. Алиса и Боб оба выражают свои знания о системе как функцию плотности вероятности по Икс , набор возможных состояний системы (т.е. вектор положений и скоростей каждой частицы) в некоторый конкретный момент времени. Теперь, если нет значения Икс для которых и Алиса, и Боб присваивают положительную плотность вероятности, то можно сказать, что они несовместимы, поскольку каждое состояние, которое Алиса принимает в системе, может быть в Бобе, говорит, что это не так, и наоборот. Если любое такое значение Икс существует, то Алиса и Боб оба могут быть «правильными» в своем состоянии знаний, если система окажется в этом конкретном состоянии. Я продолжу эту мысль ниже.

(iii) Опять же, я действительно не знаю, как преобразовать это в формализм матрицы плотности, но в классической версии статистической механики макроскопический ансамбль присваивает вероятность (или плотность вероятности) каждому возможному микроскопическому состоянию, и это то, что вы используете, чтобы определить, насколько сильно представлено конкретное микросостояние в данном ансамбле. В формализме матрицы плотности чистые состояния аналогичны микроскопическим состояниям в классическом. Я предполагаю, что вам нужно что-то сделать с операторами проектирования, чтобы получить вероятность определенного чистого состояния из матрицы плотности (я действительно узнал об этом однажды, но это было слишком давно), и я уверен, что принципы похожи в обоих формализмах. .

Я согласен, что мера, которую вы ищете, Д КЛ ( А | | Б ) знак равно ∑ я п А ( я ) журнал ⁡ п А ( я ) п Б ( я ) . (Я предполагаю, что это т р ( р А ( журнал ⁡ р А − журнал ⁡ р Б ) ) в случае матрицы плотности, что выглядит так, как вы написали, за исключением смены знака.) В случае, когда A является чистым состоянием, это просто дает − журнал ⁡ п Б ( я ) , отрицательный логарифм вероятности, которую Боб присваивает этому конкретному чистому состоянию. В терминах теории информации это можно интерпретировать как «сюрприз» государства. я , т. е. количество информации, которое необходимо сообщить Бобу, чтобы убедить его в том, что состояние я действительно правильный. Если Боб рассматривает состояние я маловероятно, то он будет очень удивлен, обнаружив, что это правильный вариант.

Если B присваивает нулевую вероятность состоянию я тогда мера будет расходиться к бесконечности, а это означает, что Бобу потребовалось бы бесконечное количество убеждений, чтобы принять то, что, как он был абсолютно уверен, было ложным. Если A является смешанным состоянием, это будет происходить до тех пор, пока A присваивает положительную вероятность любому состоянию, которому B присваивает нулевую вероятность. Если A и B одинаковы, то эта мера будет равна 0. Следовательно, мера Д КЛ ( А | | Б ) можно рассматривать как меру того, насколько «несовместимы» два состояния знания. Поскольку расхождение KL асимметрично, я думаю, вы также должны учитывать Д КЛ ( Б | | А ) , что-то вроде степени неправдоподобности B с точки зрения A.

Я знаю, что пропустил некоторые вещи, так как нужно было написать довольно много, а у меня не так много времени, чтобы сделать это. Я буду рад расширить его, если что-то неясно.

Правка (в ответ на правку в конце вопроса): Ответ на вопрос «Когда может (или не может) микросостояние ф рассматриваться как макросостояние р 0 не влияя на предсказуемость макроскопических наблюдений?» — это «в основном никогда». Я буду обращаться к терминам классической механики, потому что мне легче писать на этом языке. точно так же, как микросостояние, если макросостояние оказывается полностью пиковым распределением вероятностей (с энтропией 0, присваивая п знак равно 1 к одному микросостоянию и п знак равно 0 к остальным) и оставаться таким на протяжении всей временной эволюции.

Вы пишете в комментарии "если у меня на столе лежит определенная копейка с определенной температурой, как она может иметь несколько разных чистых состояний?" Но (по крайней мере, в версии Джейнса интерпретации статистической механики MaxEnt) температура является свойством не микросостояния, а макросостояния. Это частный дифференциал энтропии по отношению к внутренней энергии. По сути, вы делаете следующее: (1) находите макросостояние с максимальной (информационной) энтропией, совместимой с внутренней энергией, равной U , то (2) найти макросостояние с максимальной энтропией, совместимой с внутренней энергией, равной U + г U , то (3) взять разность и разделить на г U . Когда вы говорите о микросостояниях, а не о макросостояниях, энтропия всегда равна 0 (именно потому, что у вас нет невежества), и поэтому нет смысла делать это.

Теперь вы, возможно, захотите сказать что-то вроде «но если мой пенни действительно имеет определенное чистое состояние, о котором я не знаю, то, несомненно, он вел бы себя точно так же, если бы я знал это чистое состояние». Это верно, но если бы вы точно знали чистое состояние, то вам (в принципе) не нужно было бы больше использовать температуру в своих вычислениях, потому что вы (в принципе) были бы в состоянии точно вычислить потоки в и из пенни, и, следовательно, вы сможете дать точные ответы на вопросы, на которые статистическая механика может ответить только статистически.

Конечно, вы сможете рассчитать будущее поведение монеты только в очень коротких промежутках времени, потому что копейка находится в контакте с вашим столом, точное квантовое состояние которого вы (предположительно) не знаете. Поэтому вам придется довольно быстро заменить чистое макросостояние пенни на смешанное. Тот факт, что это происходит, является одной из причин, по которой вы не можете просто заменить смешанное состояние одним «наиболее репрезентативным» чистым состоянием и использовать эволюцию этого чистого состояния для предсказания будущей эволюции системы.

Редактировать 2: классические и квантовые случаи. (Это редактирование является результатом долгого разговора с Арнольдом Ноймайером в чате, ссылка на который указана в вопросе.)

В большей части вышеизложенного я говорил о классическом случае, в котором микросостояние — это что-то вроде большого вектора, содержащего положения и скорости каждой частицы, а макросостояние — это просто распределение вероятностей по набору возможных микросостояний. Предполагается, что системы имеют определенное микросостояние, но практичность макроскопических измерений означает, что для всех систем, кроме простейших, мы не можем знать, что это такое, и, следовательно, мы моделируем его статистически.

В этом классическом случае аргументы Джейнса (на мой взгляд) в значительной степени неопровержимы: если бы мы жили в классическом мире, у нас не было бы практического способа точно узнать положение и скорость каждой частицы в системе, подобной копейке на монете. стол, и поэтому нам потребуется какое-то исчисление, чтобы мы могли делать прогнозы о поведении системы, несмотря на наше невежество. Когда кто-то исследует, как выглядело бы оптимальное такое исчисление, он приходит именно к математической основе статистической механики (распределения Больцмана и все остальное). Рассматривая, как со временем может измениться чье-либо незнание системы, можно прийти к результатам, которые (по крайней мере, мне кажется) было бы невозможно сформулировать, не говоря уже о том, чтобы вывести их в традиционной частотной интерпретации. Теорема о флуктуациях является примером такого результата.

В классическом мире не было бы принципиальной причины, по которой мы не могли бы знать точное микросостояние пенни (а также всего, с чем он соприкасается). Единственные причины незнания этого - практические. Если бы мы могли решить эти проблемы, мы могли бы точно предсказать эволюцию микросостояния во времени. Такие предсказания можно было бы делать без обращения к таким понятиям, как энтропия и температура. По крайней мере, с точки зрения Джейнса, это чисто макроскопические концепции, не имеющие строгого значения на микроскопическом уровне. Температура вашего пенни определяется как Природой, так итем, что вы можете измерить о Природе (что зависит от имеющегося у вас оборудования). Если бы вы могли измерить (классическое) микросостояние достаточно подробно, вы бы смогли увидеть, какие частицы имеют самые высокие скорости, и, таким образом, смогли бы извлечь работу с помощью прибора типа демона Максвелла. По сути, вы бы разделили пенни на две подсистемы, одна из которых содержит частицы с высокой энергией, а другая — с частицами с более низкой энергией; эти две системы фактически будут иметь разные температуры.

Мне кажется, что все это должно быть без труда перенесено на квантовый уровень, и Джейнс действительно представил большую часть своей работы в терминах матрицы плотности, а не классических распределений вероятностей. Однако есть большая и (я думаю, будет справедливо сказать) нерешенная тонкость, связанная с квантовым случаем, а именно вопрос о том, что действительно считается микросостоянием для квантовой системы.

Одна возможность состоит в том, чтобы сказать, что микросостояние квантовой системы является чистым состоянием. В этом есть определенная привлекательность: чистые состояния развиваются детерминистически, как и классические микросостояния, а матрицу плотности можно вывести, рассматривая распределения вероятностей по чистым состояниям. Однако проблема заключается в различимости: некоторая информация теряется при переходе от распределения вероятностей по чистым состояниям к матрице плотности. Например, нет экспериментально различимой разницы между смешанными состояниями 1 2 ( ∣↑ ⟩ ⟨ ↑∣ + ∣↓ ⟩ ⟨ ↓∣ ) а также 1 2 ( ∣ ← ⟩ ⟨ ←∣ + ∣→ ⟩ ⟨ →∣ ) на спин- 1 2 система. Если кто-то считает микросостояние квантовой системы чистым состоянием, то он склонен утверждать , что между этими двумя состояниями есть разница, просто ее невозможно измерить. Это философски трудная позиция, поскольку она открыта для атаки бритвой Оккама.

Однако это не единственная возможность. Другая возможность состоит в том, чтобы сказать, что даже чистые квантовые состояния отражают наше невежество относительно некоего лежащего в основе, более глубокого уровня физической реальности. Если кто-то готов пожертвовать локальностью, то можно прийти к такой точке зрения, интерпретируя квантовые состояния в терминах нелокальной теории скрытых переменных.

Другая возможность состоит в том, чтобы сказать, что вероятности, получаемые из матрицы плотности, вовсе не отражают наше незнание какого-либо лежащего в их основе микросостояния, а вместо этого представляют наше невежество в отношении результатов будущих измерений, которые мы могли бы провести в системе.

Я не уверен, какую из этих возможностей я предпочитаю. Дело в том, что на философском уровне интерпретация неведения в квантовом случае сложнее, чем в классическом. Но с практической точки зрения это мало что меняет — результаты, полученные из гораздо более ясного классического случая, почти всегда можно переформулировать в терминах матрицы плотности с очень небольшими изменениями.

Спасибо за разъяснение происхождения. Проблема с вашим ответом на (iii) заключается в том, что в конкретном случае, упомянутом в моем отредактированном заявлении по (iii), основное состояние будет наиболее последовательным чистым состоянием, независимо от температуры. Таким образом, мера K/L не позволяет мне оценить, действительно ли обработка чистого состояния ψ как канонический пример (если меня интересуют только макроскопические последствия) приемлем или неприемлем.
Единственный урок, который можно извлечь из этого, заключается в том, что не всегда разумно пытаться выбрать единственное «наиболее репрезентативное» чистое состояние из распределения вероятностей и ожидать, что оно будет иметь аналогичные свойства. Если вас интересуют макроскопические свойства, вы должны рассчитывать ожидания. Если есть чистое состояние, свойства которого (или, по крайней мере, те, которые вас интересуют) ведут себя аналогично ожиданиям, вычисленным из матрицы плотности, то вы будете оправданы в том, что пытаетесь сделать. Я согласен с тем, что мера KL сама по себе, конечно, не говорит вам об этом.
Но если у меня на столе лежит определенный пенни с определенной температурой, как он может иметь несколько различных чистых состояний? Либо этот пенни имеет особую волновую функцию ψ которое дает его полное квантово-механическое описание (хотя мы никогда не можем сказать, какое именно), то это состояние должно каким-то образом иметь ассоциированную температуру, поскольку Природа знает эту температуру, и описание завершено. - Или такой уникальный ψ не существует, и в этом случае концепция микросостояний не работает, и для описания системы остается только матрица плотности.
С точки зрения Джейнса, макросостояние — это распределение вероятностей по микросостояниям, а температура — свойство макросостояния, а не микросостояния. Т знак равно ∂ С / ∂ U , куда С — энтропия макросостояния. Если бы мы полностью знали микросостояние, мы бы говорили о распределении вероятностей, при котором одно состояние имеет п знак равно 1 а остальные 0. Не было бы энтропии, а значит, и температуры.
С точки зрения невежества, ∂ С / ∂ U означает что-то вроде «если бы я добавил немного больше энергии к этому пенни, насколько больше я бы не знал о его микросостоянии?» Я обновлю свой ответ, чтобы сделать это более понятным.

Я завершу ответ @Natahniel тем фактом, что «знание» может иметь физическое значение, связанное с поведением природы. Проблема восходит к демону Максвелла , который превращает свои знания о системе в работу. Недавние работы (например, arXiv:0908.0424 Значение работы информации ) показывают, что информационная теоретическая энтропия, определяющая знание системы, связана с работой, которую можно извлечь так же, как и физическую энтропию.

Суммируя все это в нескольких словах, «Природа [не] меняет свое поведение в зависимости от того, насколько мы ее игнорируем», но «насколько мы игнорируем» изменяет количество работы, которую мы можем извлечь из Природы.

Верно. И чтобы увидеть действительно отличный пример того, как наше знание естественной системы может повлиять на нашу способность извлекать из нее работу, прочитайте эту статью (автор Эдвин Джейнс): bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.paradox.pdf
@Frederic: Тогда вас также может заинтересовать глава 10.1 моей книги «Классическая и квантовая механика через алгебры Ли » lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 , где я обсуждаю парадокс Гиббса без какой-либо ссылки на чьи-либо знания.
@ArnoldNeumaier: Спасибо за ссылку. Я только что прочитал главу 10.1. Для меня (но я склоняюсь к теории информации) выбор уровня описания как раз и относится к знаниям физика. Но я согласен, что это (полезный) философский спор, и весь вопрос связан с изучением самого выбора модели.
Между прочим, статья, на которую ссылается мой ответ, не имеет прямого отношения к парадоксу Гиббса, а представляет собой вычисление работы, которая может (вероятностно) быть извлечена из системы, о которой у нас есть частичное знание (количественно определяемое Шенноном/Смутом). энтропии Реньи)
@Frederic: я читал газету. - О главе 10.1: Я думаю, что есть большая разница между знанием (или незнанием, его отсутствием), которое является субъективным и очень сомнительным понятием, и выбором модели, который является необходимостью в любом физическом исследовании, не только в статистической механике. Суть моего рассуждения в том, что выбор уровня описания в статистической механике особо не отличается от такового в механике - нужно включать все наблюдаемые степени свободы, и ничего лишнего не помогает.

Когда дело доходит до обсуждения этих вопросов, я делаю следующее замечание, которое начинается с цитаты из Ландау-Лифшица, книга 5, глава 5:

Усреднение с помощью статистической матрицы... имеет двоякий характер. Оно включает в себя как усреднение, обусловленное вероятностным характером квантового описания (даже при максимально возможном полном), так и статистическое усреднение, вызванное неполнотой нашей информации о рассматриваемом объекте... Следует, однако, иметь в виду, что эти составляющие нельзя разделить; вся процедура усреднения осуществляется как единая операция и не может быть представлена ​​как результат последовательных усреднений, одного чисто квантово-механического, а другого чисто статистического.

...и следующее...

Следует подчеркнуть, что усреднение по разным ψ состояния, которые мы использовали для иллюстрации перехода от полного к неполному квантово-механическому описанию, имеют лишь очень формальное значение. В частности, было бы совершенно неверно полагать, что описание с помощью матрицы плотности означает, что подсистема может находиться в различных состояниях. ψ состояний с различными вероятностями и что среднее значение находится по этим вероятностям. Такая трактовка противоречила бы основным принципам квантовой механики.

Итак, у нас есть два утверждения:

Утверждение A: Вы не можете «развязать» квантово-механическую и статистическую неопределенность в матрице плотности.
(Это просто повторение приведенных выше цитат.)

Утверждение B: Квантово-механическая неопределенность не может быть выражена простым «незнанием» системы.
(Я уверен, что это самоочевидно из всего, что мы знаем о квантовой механике.)

Наконец:
Следовательно: Неопределенность в матрице плотности не может быть выражена в терминах простого «невежества» о системе.

Вывод не следует из посылок. С тем же успехом я мог бы сказать: «1. Квантовая и статистическая неопределенности не могут быть развязаны в формализме матрицы плотности. 2. Неопределенность в матрице плотности не может быть выражена как простая «квантовая» неопределенность (иначе это было бы чистое состояние). Поэтому , 3. неопределенность в матрице плотности не может быть выражена в терминах простой «квантовой» неопределенности». Гораздо более разумный вывод состоит в том, что часть неопределенности в матрице плотности является квантовой, а часть — статистической; их просто невозможно развязать.
@ Натаниэль, я согласен с вашим утверждением 3 и не вижу в этом проблем. Это ничему не противоречит. И это никоим образом не опровергает моего утверждения. В то время как «гораздо более разумный вывод» — это просто переформулировка утверждения 1.
@Nathaniel: Почему ваш пункт 2 в вашем комментарии должен быть правдой? Конечно, матрица плотности является квантовым объектом и выражает квантовую неопределенность. Успехи статистической механики вкупе с тем, что нельзя развязать информацию в матрице плотности, скорее говорят о том, что матрица плотности — это неприводимая и объективная квантовая информация, а чистое состояние — лишь очень частный, редко реализуемый случай.
@ Костя, извини - в таком случае я неправильно понял - я истолковал тебя как говорящий, что никакая неопределенность в матрице плотности не может быть выражена в терминах невежества. Если бы вы только говорили, что некоторые из них не могут, тогда нет проблем. (Хотя, сказав это, для того, кто поддерживает интерпретацию нелокальной скрытой переменной, все это может быть выражено как невежество. Некоторые люди могут найти это более приемлемым, чем отказ от локальности; я не уверен, делаю я это или нет.)
@ArnoldNeumaier рассмотрим машину, которая механически подбрасывает монету, а затем на основе результата подготавливает электрон в одном чистом состоянии (назовем это | А ⟩ ) или другой ( | Б ⟩ ). Чтобы смоделировать состояние электрона из этой машины, вы должны использовать матрицу плотности 1 2 ( | А ⟩ ⟨ А | + | Б ⟩ ⟨ Б | ) . Несомненно, это отражает как квантовую неопределенность, присущую чистым состояниям, так и вашу классическую неопределенность в отношении результата (скрытого) подбрасывания монеты. Так что, по крайней мере, в некоторых ситуациях некоторая неопределенность матрицы плотности является невежеством.
Ах, но тогда вы можете вернуться к комментарию «считайте эту копейку на моем столе» в своем ОП. Итак, подумайте вот о чем: я намеренно решил подготовить электрон в состоянии | А ⟩ или государство | Б ⟩ , но я отказываюсь сказать вам, какой. В отсутствие какой-либо другой информации вы предполагаете, что любой из них равновероятен, что приводит к матрице 1 2 ( | А ⟩ ⟨ А | + | Б ⟩ ⟨ Б | ) .
@Натаниэль: Да, в таком случае. Но это не та ситуация, которая рассматривается в статистической механике материалов. Мой вопрос касается состояния одного пенни, лежащего на моем столе. Я добавил еще несколько деталей в конец своего вопроса; Пожалуйста, учтите это!
@Nathaniel: Вы прочитали мои мысли, так как мой комментарий прибыл после вашего добавления. Но я могу сколько угодно раз смотреть на свой пенни и знать о нем все макроскопически. Природа не скрывает макроскопическую информацию. И все же, как перейти от его микросостояния к смеси? или вы утверждаете (по другому вашему комментарию), что истинное микросостояние моей копейки не дано ни одним ψ а по распределению вероятности по всем ψ с? В таком случае, каков смысл этого распределения вероятностей?
Истинное микросостояние — это единичное ψ ; смесь (то есть макросостояние) возникает только потому, что у вас нет практического способа узнать значение ψ . Природа не скрывает макросостояние, но она скрывает микросостояние. Я добавил редактирование в свой ответ, касающееся некоторых из них. Я надеюсь, что это ясно - у меня мало времени, но если у вас есть дополнительные вопросы, я вернусь к этому завтра.
@ Натаниэль: истинное микросостояние может быть запутано с другой квантово-механической системой, и в этом случае матрица плотности не является чистой не из-за статистического невежества, а потому, что мы не обладаем системой, содержащей полное квантовое состояние.
@PeterShor это, безусловно, правда. Я только пытался показать, что иногда некоторая неопределенность в матрице плотности возникает из-за невежества. Интересно, что ваша точка зрения, похоже, подразумевает, что статистическое невежество экспериментально неотличимо от запутанности.
@ Натаниэль: есть несколько версий многомировой интерпретации, в которых статистическое невежество - это то же самое, что и запутанность.
Интересно, а вы не знаете, где я могу что-нибудь об этом прочитать? (Я не фанат многомировых интерпретаций, но запутанность знак равно Идея невежества интригует.)
Невежество в статистической механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v