Как увеличивается недостаток информации при повышении температуры?

Посмотрите на распределение Больцмана.

При бесконечной температуре все состояния имеют одинаковую вероятность, и у вас есть «минимум информации».

При абсолютном 0, если предположить, что основным состоянием является кристалл, в состоянии не закодирована информация, поэтому недостатка в информации о состоянии нет.

Когда мы нагреваем систему, количество информации, закодированной в состоянии (с точки зрения положения и движения всех атомов в материале), увеличивается. Но мы почти не изучаем эту информацию. Следовательно, наша нехватка информации увеличивается не потому, что мы что-то забываем, а потому, что в системе больше информации, которой не хватает.

Откуда эта дополнительная информация? От того, как мы прогреваем систему. Предположим, мы посветим на него микроволнами. Мы не знаем, с какими атомами взаимодействуют микроволны, поэтому мы не знаем результирующего движения атомов.

Таким образом, энтропия увеличивается с повышением температуры.

Интуитивно: при нулевой температуре тепловой энергии нет, поэтому доступно только одно состояние — основное состояние (нижняя часть энергетического ландшафта). Таким образом, у вас нет недостатка в информации о том, в какой конфигурации может быть система — вы точно знаете, что она находится в основном состоянии. По мере того, как вы добавляете тепловую энергию, все больше и больше состояний становятся энергетически доступными, поэтому появляется больше возможных конфигураций, в которых может находиться система. Таким образом, количество информации в системе, которую вы не знаете (только зная температуру), увеличивается . Вместо того, чтобы болтаться в нижней части энергетического ландшафта, систему можно было бы найти и выше из-за ее внутренней тепловой энергии.

Давайте представим систему$\mathcal{S}$в сочетании с большой тепловой баней$\mathcal{E}$, окружающая среда.

Как$\mathcal{S}$взаимодействует с$\mathcal{E}$, корреляции между этими подсистемами нарастают. Информация о состоянии системы распространяется на$\mathcal{E}$в виде этих соотношений. Чтобы сохранить эту информацию, нам пришлось бы измерять большие участки окружающей среды.

Поскольку мы не можем этого сделать, наша неопределенность в отношении состояния системы возрастает. Возможно, одним из способов количественной оценки этого действительно было бы рассмотрение теплового состояния окружающей среды и чистого состояния (совершенной информации). Общая временная эволюция всей матрицы плотности приведет к возникновению смешанного состояния, если вы проследите (усредните) состояния окружающей среды.

Скорость, с которой это происходит, будет зависеть от времени корреляции ванна-ванна, которое, в свою очередь, зависит от температуры.

Мой второй ответ, который, вероятно, не то, что вы ищете, но на всякий случай:

Я только что понял, что вы, возможно, ищете математически строгое доказательство того, что энтропия теплового распределения:

Лемма 1.
Для заданной средней энергии$E_\mathrm{ave} = \sum_i p_i E_i$, тепловое распределение с энергией$E_\mathrm{ave}$максимизирует энтропию по всем распределениям с этой энергией.

Эскиз доказательства:
используйте множители Лагранжа.

Лемма 2.
Для распределения тепла при любой энергии$E_\mathrm{ave}$с$0 < \beta < \infty$, вы можете найти распределение вероятностей с немного более высокой средней энергией$E_\mathrm{ave}+\,\epsilon$и большую энтропию.

Эскиз-доказательство:
найти две энергии$E_j < E_k$и переместить некоторую вероятностную массу из$p_j$к$p_k$.

Лемма 3.
При повышении температуры$\beta^{-1}$, мы увеличиваем среднюю энергию.

Эскиз доказательства:
покажите, что для любых двух положительных температур$\beta^{-1} < {\tilde{\beta}}^{-1}$, есть энергия$E_m$так что в тепловых распределениях, если$E_i < E_m$, затем$p_i > \tilde{p}_i$и если$E_i>E_m$, затем$p_i < \tilde{p}_i$.

Это можно показать непосредственным расчетом.

Теперь мы можем доказать теорему. Начните со средней энергии$E_1$. По лемме 2 мы можем увеличить среднюю энергию до$E_2 = E_1+\epsilon\,$и найти распределение с большей энергией. Но тепловое распределение при средней энергии$E_2$имеет более высокую энтропию, чем это распределение по лемме 1. Таким образом, мы увеличили как энергию, так и энергию теплового распределения. Но по лемме 3 тепловое распределение при средней энергии$E_2$также имеет более высокую температуру.