Явное решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы, которое начинается как дельта-функция

В предыдущей теме обсуждается решение зависящего от времени уравнения Шредингера для массивной частицы в одном измерении, которая начинается в состоянии$\Psi(x,0) = \delta(x)$. Это можно легко решить в импульсном представлении, дав решение в виде

$$\Psi(x,t) = \frac{1}{2 \pi} e^{i\frac{m}{2\hbar t}x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\frac{\hbar t}{2m}(k-\frac{m}{\hbar t}x)^2} \operatorname{d}k,$$ и это преобразование Фурье к представлению положения является интегралом Френеля, который можно явно проинтегрировать, чтобы получить явное решение $$\Psi(x,t)=\begin{cases}\delta(x) & t=0,\\ \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}} e^{-i\,\mathrm{sgn}(t)\pi/4} \exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right] &t\neq 0. \end{cases} \tag{$*$}$$

Теперь эта процедура может иногда показаться немного двусмысленной, и она оставляет затяжное сомнение в том, что решение в$(*)$действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) \tag S$$ в каком-то подходящем смысле.

Хотя может показаться, что это просто случай заполнения пробелов в зависимости от времени,$\Psi(x,t)$очень неравномерно в$t=0$, так как она содержит особенность в множителе$e^{-i\,\mathrm{sgn}(t)\pi/4}/\sqrt{|t|}=1/\sqrt{i\:\!t}$, а экспоненциальный

$$\exp\left(i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right) = \cos\left(\frac{mx^2}{2\hbar}\frac{1}{t}\right) +i\sin\left(\frac{mx^2}{2\hbar}\frac{1}{t}\right)$$ колеблется бесконечно быстро в $t\to 0^\pm$, поэтому поведение решения на $t=0$линия очень нерегулярна (и действительно имеет существенную особенность ). В какой-то степени этого следует ожидать: начальное условие $\Psi(x,0) = \delta(x)$является распределением , и уравнение Шредингера вызывает, по крайней мере, вторую производную этой дельта-функции, так что в той мере, в какой справедливо уравнение Шредингера, это будет только в каком-то смысле распределения ; это, вероятно, будет немного сложно, но в остальном это должно быть возможно.

Итак, просто для заполнения пробелов: в каком смысле и без обращения к импульсному представлению$(*)$решение$(\mathrm{S})$?