Интегрирование e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} для амплитуды QM

Мой вопрос может быть больше о математике, чем о физике, но он возник в контексте физики.

Брать ℏ "=" с = 1.

Я смотрел на амплитуду распространения свободной частицы из начального положения р 0 в конечное положение р , назови это А ( т ) :

А ( т ) "=" ⟨ р | е − я ЧАС ^ т | р 0 ⟩ ,
с ЧАС ^ "=" п ^ 2 + м 2 , так
А ( т ) "=" 1 2 π 3 ∫ г 3 п ⋅ е − я т п 2 + м 2 ⋅ е я п ( р − р 0 ) .

Как вы это интегрируете?

И вообще, как вы интегрируете функцию > 1, если вы не можете разделить все переменные? Т.е. в этом случае интеграция окончена п Икс , п у и п г но п 2 находится под квадратным корнем, поэтому мы не можем просто разделить каждый компонент и интегрировать его...

Кстати, этот интеграл допустим, ответ, по-видимому, таков (я просто понятия не имею, как до него добраться!):

А ( т ) "=" 1 2 π 2 | р − р 0 | ∫ г п ⋅ п ⋅ грех ⁡ ( п | р − р 0 | ) е − я т п 2 + м 2 .

Ответы (1)

Сначала перейдите к сферическим координатам:

А ( т ) "=" 1 2 π 3 ∫ 0 ∞ г п ∫ 0 2 π г ф ∫ 0 π г θ   п 2 грех ⁡ θ е − я т п 2 + м 2 е я п потому что ⁡ θ | р − р 0 | ,
и выполнить тривиальный интеграл по ф . Впоследствии заменить у "=" потому что ⁡ θ такой, что г у "=" грех ⁡ θ г θ и интегрировать более у :
А ( т ) "=" 1 π 2 ∫ 0 ∞ г п   п 2 е − я т п 2 + м 2 ∫ − 1 1 г у е я п у | р − р 0 | "=" 1 π 2 ∫ 0 ∞ г п   п 2 е − я т п 2 + м 2 ( 1 я п | р − р 0 | ) ( е я п | р − р 0 | − е − я п | р − р 0 | ) "=" 2 π 2 | р − р 0 | ∫ 0 ∞ г п   п е − я т п 2 + м 2 грех ⁡ ( п | р − р 0 | )

РЕДАКТИРОВАТЬ: я почти уверен, что мой коэффициент двойки в числителе верен. Возможно, ваша первоначальная функция А ( т ) определяется с помощью обычного 1 / ( 2 π ) 3 , вместо 1 / ( 2 π 3 ) ?

Большое спасибо. Да, ваш фактор правильный, я забыл поставить скобки
Интегрирование e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} для амплитуды QM
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v