Нормирование решения уравнения Шредингера для свободных частиц

Уравнения Шредингера могут иметь как нормализуемые, так и ненормируемые решения. Функция

является решением уравнения Шредингера для свободных частиц для любого реального$k$и$\omega = |k|/c$.

Как правило, если уравнение имеет класс решений, параметризованный непрерывным параметром ($k$), эти решения не нормируются на бесконечное пространство.

Одна из целей волновой функции - использовать ее для расчета вероятности конфигурации с помощью правила Борна; вероятность того, что частица, описываемая$\psi$имеет$x$в интервале$(a,b)$линии

Чтобы это работало,$\psi$должен быть таким, чтобы он имел конечный интеграл

куда$S$это область, где он не исчезает.

Плоская волна (или сумма таких волн) не может быть нормирована для$S=\mathbb R$(или многомерные версии всего бесконечного пространства), но его можно нормализовать для конечных интервалов (или областей конфигурационного пространства, которые аналогичным образом имеют конечный объем).

Люди справляются с этой ситуацией несколькими способами:

• вместо того$\mathbb R$, они описывают систему функциями, ограниченными воображаемой коробкой конечного размера, поэтому все регулярные функции нормализуемы (даже там дельта-распределения останутся ненормируемыми). Точный размер ящика предполагается очень большим, но он почти никогда не фиксируется на определенном значении, потому что предполагается, что по мере увеличения размера его влияние на результат становится незначительным.

• сохраняйте бесконечное пространство, но используйте только нормализуемые функции для вычисления вероятности (никогда не используйте ненормируемые функции с правилом Борна);

• сохранять бесконечное пространство, сохранять плоские волны, использовать формализм Дирака и помнить о его недостатках. Никогда не работайте с$\langle x|x\rangle$как с чем-то дельным, не подумайте$|x\rangle$,$|p\rangle$представляют собой физические состояния (люди называют их состояниями для упрощения языка), помните, что$\langle x|$представляет собой линейный функционал, введенный для действия на некотором множестве, а не заменяющее обозначение для$\psi^*$.

Решения типа$e^{i(kx - \omega t)}$(так называемые компоненты Фурье) не нормируются к 1. Тем не менее, они широко используются в квантовой теории. Они нормализованы (совершенно неправильное выражение) к$\delta$Дирак,

(Как правило$\omega$является функцией$|k|$ул.$\delta (k - k') e^{i(\omega - \omega')}$становится$\delta (k - k')$.)

Но ничего страшного, компоненты Фурье — это идеализация, их не существует в природе. То, что существует, — это волновые пакеты конечной длины, нормализуемые к 1. Мы можем представить их как

Когда волновой пакет имеет очень плотное распределение$k$значений, то она также очень длинная, и в некоторых случаях мы можем позволить себе аппроксимировать ее фурье-компонентой.

Остальные ответы правильные. Но вам может понадобиться некоторое понимание того, почему плоская волна не нормализуется, но все же полезна.

Общее решение представляет собой суперпозицию компонент вида$\psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{i(-kx-\omega t)}$. Каждый компонент будет отличаться$k$и$\omega$.

Один компонент представляет собой равномерное распределение по всему пространству. Вероятность найти частицу где-то во всем пространстве равна 1, но бесконечно мала в любом конечном интервале. Как вы обнаружили, чтобы нормализовать это решение, амплитуда должна быть бесконечно малой.

Если вы объедините два компонента, распределение вероятностей будет неравномерным. Волновые функции — это волны с фазами. Они мешают. Вероятность выше там, где они усиливают, и ниже там, где они отменяют.

С двумя или более компонентами вы все равно получите ненормализуемую периодическую функцию. Но можно сделать сумму периодической последовательностью волновых пакетов, где амплитуда приблизительно равна 0 вне пакетов. Вы можете сделать интеграл по одному пакету равным 1 с конечными амплитудами компонентов. Но интеграл по всей волне все равно бесконечен.

Добавляя все больше и больше компонентов с k все ближе и ближе друг к другу, вы можете распространять пакеты все дальше и дальше. При этом амплитуда каждого компонента должна уменьшаться.

Доведя это до крайности, вы можете разносить пакеты на бесконечно большие расстояния, добавляя бесконечную сумму компонентов с бесконечно малым расстоянием между k. Амплитуда каждого компонента бесконечно мала, но у вас их бесконечное количество. Если вы сложите (интегрируете) амплитуды в небольшом диапазоне k, сумма будет конечной.

Волновая функция, порожденная этой суммой компонентов, представляет собой единый нормированный волновой пакет.

В этом нет ничего плохого, так как решение этого уравнения не живет в гильбертовом пространстве. Другими словами, у уравнения свободной частицы нет решения для собственного вектора, поскольку гамильтониан имеет только непрерывную часть в своем спектре. Лучшее, что вы можете сделать, если хотите придерживаться гильбертова пространства, — это найти последовательность векторов, которые приблизительно выглядят как собственные векторы. В качестве альтернативы вам придется обогатить свое гильбертово пространство, включив распределения, как описано в теории оснащенных гильбертовых пространств .

Плоские волновые решения уравнения Шредингера не нормализуемы, потому что они простираются до бесконечности с постоянной амплитудой. Однако любая физическая частица будет ограничена конечным пространством (по крайней мере, видимой вселенной), поэтому вам нужно взглянуть на суперпозиции плоских волн. Это означает, что ваша отправная точка