Нормировать волновую функцию по времени, а не по пространству

Question

Нормировать волновую функцию по времени, а не по пространству

DWade64

Статистическая интерпретация Борна волновой функции говорит, что $|\Psi (x,t)|^2$ - плотность вероятности нахождения частицы в точке $x$ вовремя $t$ , затем

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} д Икс "=" 1 \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dx = 1 \tag{1}$

Другими словами, частица должна находиться где-то в пространстве в определенное время. $t$ . Эквивалентно ли это утверждению, что частица должна находиться где-то во времени в определенном положении? $x$ ?

Мои мысли: Почему я не могу писать,

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} д т "=" 1 \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dt = 1 \tag{2}$

Всякий раз, когда я ищу положение частицы, $\Psi$ перестает подчиняться уравнению Шредингера и прерывисто схлопывается до пика вокруг некоторого положения $x$ . Если бы я мог сфокусировать свой микроскоп, скажем, $x = 2$ и ищите частицу на протяжении всего времени (в данном случае время измеряется не в положении, поэтому я устанавливаю микроскоп на $x = 2$ ничего не мешает), то $\Psi$ рухнет до пика вокруг некоторого значения $t$ и этот метод нормировки волновой функции был бы уместен. Однако люди могут делать выборки только в моменты времени и просматривать все пространство (уравнение $\textbf{(1)}$ ). Мы не можем сделать выборку в данный момент в позиции и просмотреть все время (уравнение $\textbf{(2)}$ ). Ученые не могут искать частицу во времени. Поэтому $\textbf{(2)}$ не подходит. Однако, несмотря на то, что мы, люди, не можем сделать это (искать во времени по своему желанию, вместо того, чтобы оставаться привязанным к настоящему), неправильно ли говорить, что «природа» не может достичь этого? $\textbf{(2)}$ ? Или у нас есть законы, подобные 2-му закону термодинамики, которые гласят, что природе это запрещено? Является ли это примером, показывающим, что пространство и время не равны?

Робин Экман

«Всякий раз, когда я ищу положение частицы, Ψ перестает подчиняться уравнению Шредингера и прерывисто коллапсирует в пик вокруг некоторого положения x». Это неверно . Эволюция времени в квантовой механике всегда соответствует уравнению Шредингера.

DWade64

@RobinEkman В Копенгагене учат не так. Конечно, после коллапса волновая функция снова эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера.

Робин Экман

Ну нет, но никто не должен воспринимать Копенгаген всерьез.

Янник Питт

@RobinEkman Это неправильно. Прерывистый скачок от эволюции унитарного времени к конкретному состоянию при измерении является одной из главных особенностей квантовой механики.

Ян Лалински

Уравнение (2) и вероятностная интерпретация psi будут означать, что вероятность обнаружения частицы в любой заданной точке x за бесконечное время равна 100%. Это не отражает никаких реалистичных предположений или экспериментальных результатов. На самом деле некоторые частицы никогда не достигают точки x, а некоторые могут достигать ее несколько раз. Стандартная нормализация основана на предположении, что частица всегда где-то находится. Но мы не можем сказать, что в какой-то точке пространства она будет однажды обнаружена, что нереально.

Ответы (3)

Нормировать волновую функцию по времени, а не по пространству

«Всякий раз, когда я ищу положение частицы, Ψ перестает подчиняться уравнению Шредингера и прерывисто коллапсирует в пик вокруг некоторого положения x». Это неверно . Эволюция времени в квантовой механике всегда соответствует уравнению Шредингера.
@RobinEkman В Копенгагене учат не так. Конечно, после коллапса волновая функция снова эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера.
Ну нет, но никто не должен воспринимать Копенгаген всерьез.
@RobinEkman Это неправильно. Прерывистый скачок от эволюции унитарного времени к конкретному состоянию при измерении является одной из главных особенностей квантовой механики.
Уравнение (2) и вероятностная интерпретация psi будут означать, что вероятность обнаружения частицы в любой заданной точке x за бесконечное время равна 100%. Это не отражает никаких реалистичных предположений или экспериментальных результатов. На самом деле некоторые частицы никогда не достигают точки x, а некоторые могут достигать ее несколько раз. Стандартная нормализация основана на предположении, что частица всегда где-то находится. Но мы не можем сказать, что в какой-то точке пространства она будет однажды обнаружена, что нереально.

Феникс87 · Answer 1

Для квантовой системы с одной степенью свободы на отрезке $I$ , гильбертово пространство $L^2(I)$ . В этом случае $I$ это диапазон для пространственной координаты $x$ , так что нормировка применяется по мере Лебега на $I$ . Теперь предположим, что у вас есть динамика, описываемая гамильтонианом $H$ на таком гильбертовом пространстве, и что $\psi$ является собственным состоянием $H$ с собственным значением $E$ . Эволюция во времени $\psi$ является

ψ \mapsto е^{я Е т} ψ .

$\psi\mapsto e^{iEt}\psi.$

Если мы наивно попытаемся интегрировать эту функцию, мы получим

\int_{р} | е^{я Е т} ψ (Икс) |^{2} д т "=" \int_{р} | ψ (Икс) |^{2} д т "=" | ψ (Икс) |^{2} \int_{р} д т,

$\int_{\mathbb R}|e^{iEt}\psi(x)|^2\text d t = \int_{\mathbb R}|\psi(x)|^2\text d t = |\psi(x)|^2\int_{\mathbb R}\text dt,$

который бесконечен для каждого $x\in I$ для которого $\psi(x)\neq 0$ или ноль в противном случае. Тогда у нас возникает проблема, когда мы пытаемся придать смысл вероятности такому интегралу. Вы можете интерпретировать этот результат как утверждение, что частица пройдет через $x$ бесконечно часто предоставляется $\psi(x)\neq 0$ если ждать бесконечно долго, но эта информация уже вычитается из $\psi$ сам по себе такой интеграл делать не нужно.

Спасибо за ответ. Вы приводите хороший конкретный пример собственного состояния энергии, ненормируемого по времени. Чтобы еще немного подыграть вопросу, все, что говорит ваш ответ, это то, что состояния формы $\exp ^{iEt} \psi_{E}(x)$ не являются физически реализуемыми состояниями в мире, где вы можете сэмплировать все время в любой момент. Это мир, в котором вероятности задаются между любыми двумя точками на вашей временной шкале (вместо вероятностей нахождения частицы между любыми двумя крестиками). Можете ли вы дать более фундаментальный ответ?
В уравнении Шрёдингера используется одна производная по времени и вторая производная по положению (неравномерность). Вынуждает ли это нормализовать плотности вероятности относительно положения? Если я не полностью понимаю ваш ответ, я не верю, что ваш ответ препятствует нормализации по времени, но показывает пример, когда он терпит неудачу.
Интересный. На самом деле в этом примере, который вы приводите, и если мы находимся в мире, о котором я говорю (нормирование по времени), ваш пример показывает, что вы не можете измерить энергию в моем мире. Мой мир по существу останавливает течение времени. Ваш ответ показывает, что если это так, то не существует такой вещи, как состояния с определенной энергией. (Также предполагая, что если вы нормализуете по времени, волновая функция останется нормализованной по отношению к положению. В противном случае ваша константа нормализации изменится с положением, что может наложить дополнительные условия на волновую функцию, кроме SE)
С математической точки зрения формализм КМ проистекает из канонических коммутационных соотношений, в которых участвуют операторы положения и импульса. Для времени и энергии такого коммутационного соотношения не существует (распространено мнение, что нельзя связать наблюдаемый оператор со временем; см., например, physics.stackexchange.com/q/6584 ).
Но согласны ли вы с моими первыми двумя комментариями или нет? Ваш ответ препятствует нормализации времени или показывает пример того, когда это не удается? Тогда, я думаю, если бы вы переписали свой ответ на мой вопрос с комментарием, который вы только что дали, вы бы сказали, что нормализация времени невозможна, потому что она даже не является наблюдаемой?
Я не вижу связи между возможностью реализации состояния и тем, что интеграл в этом случае не конечен. С физической точки зрения нет особого смысла интегрировать во времени все $\mathbb R$ . Более реалистично рассматривать промежуток времени (например, временной интервал), который вы можете связать с измерением. Тогда ваш интеграл будет конечным, и вы сможете нормализовать любой другой такой интеграл к этому значению. Однако, как показано выше, такой фактор просто отменяется, показывая, что нужная вам информация уже закодирована в волновой функции.
У вас не может быть реализуемого состояния, если оно не интегрируемо с квадратом. Например, $\Psi = 0$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера, но не может быть нормализовано. Итак, в своем ответе вы показали, что состояния формы, которую вы даете, не являются физическими состояниями в мире, который я рассматриваю (нормализация времени). Я считаю ваш ответ полезным, но я не понимаю, как ваш ответ отвечает на мой вопрос о том, почему мы не нормализуем время. Однако я полагаю, что вы ответите на него в комментариях, сказав, что время не является наблюдаемым.

Дж. Г. · Answer 2

Время не является квантово-механической наблюдаемой; это ярлык. Чтобы понять разницу, мы должны рассмотреть классическую механику, в которой канонические координаты являются функциями временной метки. В частности, у времени нет сопряженного импульса, с которым у него есть каноническая скобка Пуассона.

Точно так же в теории поля действие представляет собой пространственно-временной интеграл по функции зависящих от пространства-времени полей и их производных. Эти поля играют роль канонических полей, а их аргументы играют роль временной переменной, так что даже пространство не является наблюдаемым в этом контексте, потому что мы измеряем амплитуду поля в пространственно-временном событии, а не в местоположении отдельной частицы.

Функциональная производная $\frac{\delta\phi (x)}{\delta \phi (y)}=\delta (x-y)$ и скобка Пуассона $\{\phi(x),\,\pi(y)\}=\delta(x-y)$ обобщить аналогичные результаты из квантовой механики и показать, как метки связывают величины, которые становятся наблюдаемыми, когда мы квантоваем эту теорию.

Диракология · Answer 3

При условии

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} д Икс "=" 1, \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dx = 1,\tag1$ подразумевает, что частица должна находиться где-то в пространстве в любое время, не означает, что она должна находиться где-то во времени в определенном месте

x

$x$ . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим простой пример частицы в одномерном ящике (бесконечная потенциальная яма). Волновая функция

ψ

$\psi$ и плотность вероятности

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ из первых нескольких собственных состояний выглядят так, как показано на рисунке ниже

Как видите, существуют определенные точки (узлы) такие, что $|\psi(t)|^2=0$ это означает, что частица никогда не будет найдена там.

Вы также можете заметить, что уравнение (1) представляют собой сумму вероятностей, поэтому они должны быть безразмерными. Это означает, что размерность $\psi$ (для одномерных систем) $[\mathrm{length}]^{-1/2}$ . Теперь, если мы предположим, что (1) и его физическая интерпретация как нормализация вероятностей верны, то размерность

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} д т,

$\int_{-\infty}^\infty |\Psi (x,t)|^2 dt,$ должно быть

[t i m e] [l e n g t h]^{- 1 / 2}

$[\mathrm{time}][\mathrm{length}]^{-1/2}$ что означает, что приведенный выше интеграл не может быть равен единице. Поэтому он не может представлять вероятность.

Хотя я согласен с большей частью вашего анализа, мы не определяем волновую функцию как имеющую конкретную единицу измерения, скорее, мы определяем ее интеграл по отношению к чему бы то ни было безразмерным: если бы такая волновая функция существовала, она имела бы единицы [времени] $^{-1/2}$ . Все это несколько бессмысленно, поскольку время не является оператором, но ваш связанный ответ в основном объясняет, что мы выбираем единицу волновой функции для удовлетворения требования, а не наоборот.
@user121330 user121330 Я не определил размер $\psi$ или. На самом деле я просто предполагаю, что вероятности безразмерны.
В таком случае, я не понимаю вашего последнего предложения.
@ user121330 Я не совсем понимаю, что вы имеете в виду. Я рассматриваю уравнения OP. (1) и (2). Волновая функция $\psi$ одинаково в обоих уравнениях. Тогда я предполагаю уравнение. (1) представляют собой нормализацию вероятностей, следовательно, они безразмерны и $\psi$ имеет размерность $[\mathrm{length}]^{-1/2}$ . Учитывая это $\psi$ , последним шагом является проверка размерности интеграла в уравнении. (2) и обратите внимание, что это уравнение не может быть правильным.
Ой. Вы предполагаете, что $|\Psi(x,t)|^2$ имеет одни и те же единицы измерения в обоих уравнениях, вероятно, потому, что у него одинаковые символы. я бы сказал, что $\Psi$ имеет контекстуальные единицы хотя бы потому, что это то, что делает любая другая волновая функция. Вы не обязательно ошибаетесь, но это кажется немного педантичным. С другой стороны, я говорю с тобой об этом, так что это делает меня...
@Diracology Что, если плотность вероятности зависит от времени? Не будет ли тогда интеграл зависеть от времени и может быть отличен от 1?

Нормировать волновую функцию по времени, а не по пространству

DWade64

Робин Экман

DWade64

Робин Экман

Янник Питт

Ян Лалински

Ответы (3)

Феникс87

DWade64

DWade64

DWade64

Феникс87

DWade64

Феникс87

DWade64

Дж. Г.

Диракология

пользователь121330

Диракология

пользователь121330

Диракология

пользователь121330

Антониос Сарикас

Нормализация волновой функции в виде Aei(kx-wt)Aei(kx-wt)Ae^{i(kx-wt)}

Нормализация волновой функции означает...?

Почему ненормируемые решения не могут представлять частицы?

Как волновая функция свободной частицы ψ(x,t)=Aexp{i(kx−ωt)}ψ(x,t)=Aexp⁡{i(kx−ωt)}\psi(x,t)=A \exp \{ i(kx-\omega t)\} удовлетворяют условию нормализации? [дубликат]

Доказательство независимости нормировочной константы волновой функции от времени

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Произвольная нормировка волновой функции свободной частицы

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( х)|^2dx?