Почему ненормируемые решения не могут представлять частицы?

По определению вероятность обнаружить частицу с нормализованной волновой функцией$\psi(x)$в интервале$[x_1,x_2]$является

$$P(x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2}\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x.$$ Если волновая функция не нормирована, а нормируема, т.е. интеграл $C := \int_{-\infty}^\infty\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x$конечна, то мы все еще можем определить эту вероятность как $$P(x_1,x_2) = \frac{1}{C}\int_{x_1}^{x_2}\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x.$$ Это по сути всего лишь один из основных постулатов квантовой механики — состояния — это не векторы в гильбертовом пространстве, а лучи (или элементы проективного гильбертова пространства ), и неважно, нормализованный или ненормализованный представитель луча вы выберете для вычисления физических величин.

Однако ненормируемая волновая функция не принадлежит никакому лучу — она не лежит в гильбертовом пространстве, обычно$L^2(\mathbb{R})$, на котором происходит квантовая механика, потому что элементы$L^2(\mathbb{R})$по определению имеют конечные интегралы, т. е. нормализуемы. В частности, нет способа дать рецепт, как вычислить$P(x_1,x_2)$от него. Следовательно, ненормируемая волновая функция не является состоянием в смысле квантовой механики , она не представляет собой физически значимое или доступное состояние (хотя может быть его идеализацией, подобно состояниям$\lvert x\rangle$).