Произвольная нормировка волновой функции свободной частицы

Я читаю книгу Ландау и Лифшица по нерелятивистской квантовой механике, и у меня есть некоторые сомнения относительно отрывка в главе об упругом рассеянии. У меня есть французское издание 1966 года, поэтому я не могу точно процитировать, но это должно быть в §125, примерно из уравнения (125.10).

При изучении скорости переходов в непрерывном спектре (имеющих дело со свободными частицами заданных импульсов) за счет некоторого потенциального U , написано, что «нормируем уходящую волновую функцию с импульсом п ′ , как дельта Дирака в импульсном пространстве

ψ п ′ ( Икс ) знак равно 1 ( 2 π ℏ ) 3 / 2 е я ℏ п ′ ⋅ Икс
и приходящая волновая функция к единице плотности тока
ψ п ( Икс ) знак равно м п е я ℏ п ⋅ Икс
поэтому вероятность, заданная золотым правилом Ферми
д ж п п ′ знак равно 2 π ℏ | ⟨ п ′ | U | п ⟩ | 2 дельта ( Е ( п ) − Е ( п ′ ) ) д ν
представляет дифференциальное сечение процесса рассеяния».

Здесь м - масса частицы, п знак равно ‖ п ‖ а также д ν представляет собой «интервал состояний», в данном случае д п Икс д п у д п г .

Теперь мой вопрос: может ли нормировочный коэффициент свободной частицы быть произвольным? Мне кажется, что авторы сделали это, «потому что это работает» и потому что это дает желаемый результат, но, вероятно, я просто не знаю чего-то, что происходит за кулисами этого вывода. Я понимаю, что волновые функции свободных частиц все равно нельзя нормализовать в р 3 , но означает ли это, что я могу умножать их на что угодно (постоянный скалярный коэффициент)?

Когда было введено уравнение золотого правила для переходов между состояниями непрерывного спектра (§43 в моем издании), авторы фактически написали, что д ж нельзя рассматривать как скорость перехода, поскольку у него даже нет правильных единиц (я думаю, это зависит от того, как вы «подсчитываете состояния»: я мог бы использовать, например, д ν знак равно д п Икс д п у д п г / ℏ 3 также).

Как разрешить весь этот произвол?

Что-то очень подозрительно в нормализации к единице плотности тока; у него даже нет нужных единиц. Определенно, волновые функции всегда должны быть нормированы к 1 (это то, что делает нормализация до дельты Дирака). Моя интуиция подсказывает мне, что «нормализация к единичной плотности тока» на самом деле должна происходить в соответствии с золотым правилом Ферми, а не на уровне волновой функции. Возможно, это действительно должно быть в этом «интервале состояний» (или, как википедия называет это плотностью конечных состояний). Однако я хочу отметить, что волновые функции свободных частиц имеют правильную нормализацию (например, Дирак).
Если бы мне пришлось выбирать, как нормировать входящую волновую функцию, я бы выбрал также дельту Дирака в импульсном пространстве, как и уходящую волну, поскольку свойство частицы, в конце концов, состоит в том, чтобы иметь определенный импульс. Кроме того, следует ли выбор такой плотности состояний (в терминах импульсных координат) из нормировки в импульсном пространстве? Мне это кажется вероятным, поскольку (конечный) импульс является единственной «переменной» в правиле Ферми.
Нормализация всегда определяется вашим определением внутреннего продукта в гильбертовом пространстве. Кроме того, плотность состояний определяется определением внутреннего продукта. Так что косвенным образом нормализация должна определять вашу плотность состояний. Учитывая это, то, что я сказал ранее, не кажется правдой. Единственным другим местом, откуда эти дополнительные факторы могли бы законно появиться, является дифференциальное поперечное сечение. К сожалению, у меня нет экземпляра книги, поэтому я не знаю, как это определяется для них.
Я никогда не думал об этом в таком ключе... Значит, это было бы примерно так: я представляю состояния в «изображении импульса» (что естественно, поскольку они являются свободными частицами), т. е. как функции в л 2 ( р 3 ) с мерой д п Икс д п у д п г , таким образом, состояния свободных частиц представлены (и нормированы как) дельтами Дирака дельта ( п − п ′ ) а плотность состояний является выбранной мерой интегрирования? (Я не уверен, что «мера» является правильной терминологией с математической точки зрения, но смысл должен быть ясен)
Грубо говоря, это правильно. Вы можете думать о квантовой системе конечного размера л 3 систему и принимая л → ∞ limit, и соединения более понятны, так как вам не нужно беспокоиться о дистрибутивах (по крайней мере, более понятным для меня).

Ответы (1)

  1. С одной стороны, золотое правило Ферми гласит, что скорость перехода равна

    (1) д п д т   знак равно   2 π ℏ | ⟨ ф | В | я ⟩ | 2 р ф .
    Предполагается, что начальное состояние | я ⟩ нормализуется. Окончательные состояния | ф ⟩ не надо нормализовать. (Последнее можно увидеть, поместив систему в потенциальный ящик с объемом л Икс л у л г , и возьмем предел л Икс л у л г → ∞ . Нормализация | ф ⟩ а также р ф будет масштабироваться таким образом, чтобы формула (1) оставалась неизменной.)

  2. С другой стороны, в теории рассеяния начальное состояние не нормируется. В этом случае нет абсолютного понятия вероятности. Вместо этого сечение рассеяния по определению нормировано относительно потока падающего луча. Нормализация L&L исходной волновой функции к единичной плотности тока предназначена для выполнения этого определения. Это не произвольно.

Использованная литература:

[L&L] Л.Д. Ландау и Э.М. Лифшиц, QM, Vol. 3, 3-е изд., 1981; § 126.

Как вы интерпретируете ненормализованное состояние? Имеет ли это какое-то отношение к граничным условиям на бесконечности? Правильно ли считать, что «ненормализованное состояние» правильнее формулировать как нормализованное состояние, но с дополнительными факторами для установления связи с поперечным сечением рассеяния?
Произвольная нормировка волновой функции свободной частицы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v