О чем говорит нам оператор плотности, одинаковый для двух систем?

Результат измерения наблюдаемого$O$на системе, описываемой оператором плотности$\rho$дан кем-то$\mathrm{tr}[O\rho]$. Таким образом, если две системы описываются одним и тем же оператором плотности, то они не могут быть различимы никаким измерением, т. е. описывают одно и то же состояние. Итак, если эти операторы плотности кодируют все, что вы знаете о двух состояниях, то эти два состояния для вас действительно идентичны.

Конечно, если кто-то подготовил государство$\rho$определенным образом (например, случайным образом подготавливая конкретное состояние из ансамбля), то два состояния, которые, с вашей точки зрения, описываются одним и тем же оператором плотности, могут быть разными для этого человека.

Как сказал @Phoenix87, вы должны указать, что означает systemваш вопрос. Если я что-то не упустил.

система является одним из состояний$|ψ_i⟩$но мы не знаем какой.

Здесь systemозначает, что система определенной частицы и определенной частицы будет находиться в чистом состоянии.$|ψ_i⟩$но мы не знаем какой.

две системы$S_1$и$S_2$и оба определяются одним и тем же оператором плотности, заданным формулой$\rho$.

Здесь имеется systemв виду система многих (возможно, бесконечных) частиц, которые могут находиться в чистом состоянии.$|ψ_i⟩$но мы не знаем какой. Мы знаем, что эти частицы подчиняются статистическому закону. И две системы$S_1$и$S_2$идентичны, значит, они имеют один и тот же статистический закон.