О применимости закона Кулона и закона Био-Савара

Question

О применимости закона Кулона и закона Био-Савара

Физика
электростатика
магнитостатика
электромагнетизм
классическая электродинамика

Анонимный

Уравнения Ефименко

Е (р, т_{р}) "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int [р (р^{'}, т_{р}) \frac{р - р^{'}}{{| р - р^{'} |}^{3}} + \dot{р} (р^{'}, т_{р}) \frac{р - р^{'}}{с {| р - р^{'} |}^{2}} + \dot{Дж} (р^{'}, т_{р}) \frac{1}{с^{2} | р - р^{'} |}] д т^{'}

$\textbf{E}(\textbf{r}, t_r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left[\rho\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^3} + \dot{\rho}\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{c\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^2} + \dot{\textbf{J}}\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{1}{c^2\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|}\right] d\tau'$

и

Б (р, т_{р}) "=" \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int [Дж (р^{'}, т_{р}) \times \frac{р - р^{'}}{{| р - р^{'} |}^{3}} + \dot{Дж} (р^{'}, т_{р}) \times \frac{р - р^{'}}{с {| р - р^{'} |}^{2}}] д т^{'},

$\textbf{B}(\textbf{r}, t_r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \left[\textbf{J}\left(\textbf{r}', t_r\right)\times\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^3} + \dot{\textbf{J}}\left(\textbf{r}', t_r\right)\times\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{c\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^2}\right] d\tau',$

где $t_r = t - \dfrac{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|}{c}$ это запаздывающее время.

Гриффитс утверждает, что закон Кулона выполняется, когда «все исходные заряды стационарны ». Однако первое из уравнений Ефименко говорит нам, что все, что требуется для выполнения закона Кулона, это $\dot{\rho} = 0$ и $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Я считаю заслуживающим внимания, что ни одно из условий $\dot{\rho} = 0$ и $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ подразумевает другое. Хотя это правда, что

Нет платы за переезд ⟹ [\dot{р} "=" 0 и \dot{Дж} "=" 0],

$\textrm{No moving charges} \implies \left[\dot{\rho} = 0 \; \textrm{ and } \; \dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}\right],$ обратное неверно, и, таким образом, Гриффитс дает нам излишне сильное условие для справедливости закона Кулона.

Гриффитс также предоставляет нам излишне сильное условие для выполнения закона Био-Савара, а именно минимальное условие для выполнения закона Кулона, $\dot{\rho} = 0$ и $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Из второго уравнения Ефименко видно, что минимальное требование для выполнения закона Био-Савара равно $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Это весьма примечательно, если учесть, что можно было бы наивно ожидать, что любые накапливающиеся заряды будут создавать изменяющееся электрическое поле, которое создаст магнитное поле, зависящее от накопления зарядов.

Мне кажется, я ясно дал понять, почему не доверяю авторам, которые сразу дают мне полную картину. (Возможно, это оправдано в случае Гриффитса, хотя я им не доволен.) Джексон утверждает, что закон Кулона действителен, когда $\dot{\rho} = 0$ , $\dot{\textbf{E}} = 0$ , и $\dot{\textbf{B}} = 0$ ; Я не уверен, как он намеревается определить магнитостатику, которую я принимаю за его условие соблюдения закона Био-Савара, но ясно, что одна вещь, которая характеризует магнитостатику, это $\dot{\rho} = 0$ . Если бы кто-то мог предложить свою полную интерпретацию того, как Джексон намеревается определить магнитостатику, это было бы здорово.

Вопрос: являются ли условия Джексона для выполнения закона Кулона минимальными? Являются ли его условия (какими бы они ни были) для выполнения закона Био-Савара минимальными?

Ответы (1)

О применимости закона Кулона и закона Био-Савара

тпаркер · Answer 1

Как ты говоришь. закон Био-Савара выполняется всегда, когда $\dot{\bf J} \equiv {\bf 0}$ , даже если ${\bf \nabla} \cdot {\bf J} \neq {\bf 0}$ и так $\rho$ изменяется линейно во времени. Предположение $\dot{\rho} \equiv 0$ не обязательно. Более того, поскольку ${\bf J}({\bf x}, t) \equiv {\bf J}({\bf x}, t_r)$ в этом случае мы тривиально имеем то, что мгновенная версия закона Био-Савара выполняется точно.

Ваша интуиция верна, что накопление заряда индуцирует изменяющееся электрическое поле, которое индуцирует часть магнитного поля. Однако оказывается, что даже с учетом этого индукционного эффекта, когда $\dot{\bf J} \equiv 0$ закон BS продолжает точно выполняться. Когда вы выводите закон BS из закона Ампера, есть термин ${\bf \nabla} \cdot {\bf J}$ это обычно отбрасывается, потому что мы предполагаем, что обвинения не накапливаются. Если мы сохраним этот термин, мы обнаружим, что если $\dot{\bf J} \equiv 0$ тогда он точно компенсирует эффект электромагнитной индукции от изменяющегося электрического поля, так что закон БС по-прежнему точно выполняется.

Что еще более удивительно, предположение $\dot{\rho} \equiv 0$ на самом деле не обязательно для выполнения закона Кулона, несмотря на появление $\dot{\rho}$ в первом уравнении Ефименко. Пока $\dot{\bf J} \equiv {\bf 0}$ , оказывается, что второй член в уравнении точно компенсирует эффект замедления, и мгновенная версия закона Кулона выполняется точно, даже несмотря на то, что плотность заряда меняется со временем! Это одна из тех ситуаций, когда ЭМ внешне выглядит нелокальным, но на самом деле остается полностью локальным, и подробно обсуждается здесь .

TLDR: и закон Кулона, и закон Био-Савара выполняются точно, если $\dot{\bf J} \equiv 0$ , даже если $\dot{\rho} \neq 0$ .

Что касается общего определения «магнитостатики», то вы уже задавали этот вопрос, и я ответил на него здесь . Должны ли вы описывать электродинамическую ситуацию как «магнитостатическую», если электромагнитная индукция от изменяющегося электрического поля приводит к точному выполнению закона Био-Савара? Я бы, наверное, не стал, но это личное предпочтение. Не существует стандартизированного определения термина «магнитостатический», достаточно точного, чтобы окончательно включить или исключить этот необычный пограничный случай.

Я хотел сказать, что вы этого не показали. $\left[\dot{\rho} = 0, \mathbf{E} = \mathbf{0} \textrm{ and } \mathbf{B} = \textbf{0}\right] \implies \dot{\mathbf{J}} = \mathbf{0}$ и что обратное неверно.
@PiKindOfGuy $\dot{\bf E} = \dot{\bf B} = {\bf 0}$ достаточно, чтобы показать, что $\dot{\bf J} = {\bf 0}$ : просто возьмите производную по времени от закона Ампера. Я объяснил, почему обратное неверно в моем предыдущем комментарии.

О применимости закона Кулона и закона Био-Савара

Анонимный

Ответы (1)

тпаркер

пользователь113773

тпаркер

Можно ли квалифицировать заряд, движущийся по открытой траектории, как ток?

Почему поверхности действуют как барьеры для электронов?

Каков ответ на парадокс диска Фейнмана?

Может ли статическое неконсервативное векторное поле иметь скалярный потенциал?

Электрическое поле, зависящее от времени: математическое расширение для локального электрического поля

Вопрос по зарядке и разгону

«Электростатическое поле цепи» Что это значит?

Электрический диполь, ошибка в расчете

Энергия магнитного поля вокруг проводника с током аналогична энергии электрического поля, связанной с изолированным зарядом?

Как бы вы определили электростатику и магнитостатику, исходя из уравнений Максвелла?