Общая конструкция уравнений движения свободных частиц

В некотором смысле существует способ «привести» себя к уравнениям движения, основанным на симметриях. Наиболее подходящей для этой цели формой механики является принцип Гамильтона - система движется по пути, на котором действие имеет стационарное значение для вариаций с фиксированными концами:

$$\delta S=0$$

$S$обычно выражается как (при некоторой параметризации путей с параметром$t$):

$$S = \int_{path} L(x, \dot{x})dt$$

Приводя к уравнениям движения:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial L}{\partial x}$$

Теперь, в общем, можно ожидать, что действие будет соблюдать симметрию задачи. Рассмотрим следующие примеры:

Ньютоновская механика

Здесь у нас есть частицы, положение которых задано как функция времени:$x(t)$. В силу трансляционной и вращательной инвариантности соответственно потребуем, чтобы действие$S$не зависит от какой-либо предпочтительной позиции или направления. Форма, которую мы фактически имеем, тогда$L = L(|\dot{x}|)$. Мы также требуем, чтобы он соблюдал галилееву симметрию. Для этого мы требуем, чтобы$\delta S$инвариантен относительно$\dot{x} \rightarrow \dot{x}+u$для постоянного$u$. Это возможно, когда$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$, так что при этом преобразовании

$$S = \int\frac{1}{2}m\dot{x}^2dt \rightarrow \int\frac{1}{2}m\dot{x}^2dt + \int mu\ dx + \int\frac{1}{2}mu^2dt$$ Последние два члена являются только функциями конечной точки пути, и поэтому их вариации равны нулю, т.е. $\delta\int dx = \delta\int dt = 0$. Это приводит к уравнению движения: $$m\ddot{x} = 0$$ или $$\ddot{x} = 0$$

Именно такое уравнение движения можно было бы получить для свободной частицы согласно второму закону Ньютона. (Примечание: Механика представлена ​​так, например, у Ландау и Лифшица, Механика ).

Специальная теория относительности

Здесь мы требуем, чтобы действие было инвариантным относительно преобразований Лоренца в дополнение к трансляционной инвариантности. Таким образом, для действия выбираем интеграл по путям самого пространственно-временного интервала:

$$S = m\int \sqrt{\eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}}$$

Параметр$\delta S=0$приводит к геодезическому уравнению движения свободной частицы, т. е. движение представляет собой прямую линию в пространстве-времени.

Я не уверен, можно ли считать это «каноническим» способом; это больше похоже на обоснованные предположения.