Квантовые симметрии, не описываемые группами

Я думаю, что авторы имеют в виду квантовые группы, которые относятся к группам Ли так же, как некоммутативная геометрия относится к многообразиям, отсюда и расплывчатые заявления о квантовой некоммутативности.

Иногда можно найти КТП, гильбертовы пространства которых являются представлениями квантовых групп (путем реализации квантовой группы в алгебре операторов). Знание того, что гильбертово пространство является представлением квантовой группы, имеет практически те же практические последствия, что и знание того, что гильбертово пространство является представлением группы Ли: вы можете разлагать на нерепрезентации, ограничивать внутренние произведения и так далее. (В конце концов, это всего лишь линейная алгебра.) По этой причине люди иногда становятся поэтичными и говорят, что квантовое групповое действие — это симметрия, которая не исходит из группы.

Я не могу понять претензию. На самом деле каждая квантовая симметрия (см. ниже) есть элемент группы или, лучше сказать, образ представления группы. По теореме Вигнера-Кадисона симметрия представляется унитарным или антиунитарным оператором$U$. (Этот факт верен и при наличии правил суперотбора). Следующее определение$G$как подгруппа, порожденная$I$,$U$,$U^{-1}$в группе изометрических сюръективных линейных и антилинейных отображений в гильбертовом пространстве системы.$U$таким образом, является изображением через (тривиальное) представление элемента$G$. Так как группа определяется$U$сам по себе, проблем с фазами и мультипликаторами нет, а представление унитарное, а не проективное. Ясно, что симметрия вообще не является частью непрерывной группы симметрии. Однако, если$U$унитарна, всегда можно с помощью спектральной теории написать$U= e^{-iA}$для некоторого самосопряженного оператора$A$. Поэтому$U=V (t)$для$t=1$, и где$V (t)$группа с одним параметром, сгенерированная$A$. В этом случае$G$может быть переопределен как одномерная группа Ли (используя теорему MGZ для определения структуры группы Ли) и$\{V(t)\}_{t \in \mathbb R}$является сильно непрерывным представлением этой группы Ли. Очевидно, физический смысл$A$сомнительно, так как конструкция весьма искусственная.

ПРИЛОЖЕНИЕ . Возможно, проблема связана с понятием квантовой симметрии . Неясно, что авторы имеют в виду под квантовой симметрией .

Однако в литературе существуют три понятия (квантовой) симметрии квантовой системы, описываемой в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве.

NB: здесь я имею в виду общее понятие квантовой симметрии, а не квантовой динамической симметрии (используемой, например, в формулировке квантовой версии теоремы Нётер).

Симметрия Вигнера : сюръективное отображение, преобразующее лучи гильбертова пространства в лучи гильбертова пространства, сохраняющие амплитуды вероятности.

Симметрия Кадисона : автоморфизм решетки ортогональных проекторов гильбертова пространства (представляющий элементарные ДА-НЕТ наблюдаемые квантовой системы) или, что то же самое, биективное выпукло-линейное отображение из выпуклого тела (обычно смешанных) состояний в себя. .

Симметрия Жордана : биективное отображение жордановой неассоциативной алгебры ограниченных самосопряженных операторов в себя.

В отсутствие правил суперотбора три понятия совпадают и приводят к одному и тому же математическому утверждению: симметрии — это все унитарные или антиунитарные операторы, а соответствие взаимно однозначное с точностью до произвольной фазы.

При наличии правил суперотбора, описываемых центральными проекторами алгебры наблюдаемых фон Неймана (в предположении, что центр решетки атомный), картина практически идентична, но фазы могут зависеть от сектора суперотбора.

При наличии калибровочной группы (алгебра наблюдаемых в каждом секторе суперотбора является немаксимальным фактором) операторы$U$определены с точностью до элементов коммутанта алгебры фон Неймана, но я не уверен, что всякая симметрия может быть описана таким образом и что три понятия симметрии по-прежнему совпадают.

Проход кажется бессмысленным. По теореме Вигнера каждая квантовая симметрия может быть представлена ​​(анти-) унитарными операторами в гильбертовом пространстве состояний, а унитарные операторы имеют обратные, которые обязательно также являются симметриями, поэтому все симметрии образуют подгруппы унитарной группы. Гильбертово пространство квантовой механики на самом деле не отличается от конфигурационного пространства классической механики.

Однако вполне может быть, что авторы стремятся здесь к чему-то другому: для данной абстрактной группы симметрии представление в виде унитарных операторов на самом деле не обязательно должно быть обычным линейным представлением абстрактной группы, но может быть проективным, как я подробно обсудите в этом моем вопросе и ответе .