Галилея, SE (3), группы Пуанкаре - центральное расширение

Есть 3 действия группы Галилея на свободную частицу: на конфигурационное пространство, на фазовое пространство и на пространство квантовых состояний (волновые функции). Алгебра Ли Галилея точно реализуется на конфигурационном пространстве с помощью векторных полей, но ее поднятое действие на алгебру Пуассона функций на фазовом пространстве и на волновых функциях (с помощью дифференциальных операторов) является центральным расширением алгебры Галилея , известная как алгебра Баргмана, в которой коммутатор бустов и импульсов пропорционален массе. Обоснование дается в следующих аргументах

1) Действие над конфигурационным пространством:$Q = \{x^1, x^2, x^3, t\}$:

Здесь операторы перевода и буста действуют как векторные поля, а их коммутатор равен нулю:

Перевод:$x^i \rightarrow x^i+c^i$, порождающий вектор$P_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$

Способствовать росту:$x^i \rightarrow x^i+v^i t$, порождающий вектор$G_i = t \frac{\partial}{\partial x^i}$

Это верное действие группы Галилея:$[P_i, G_j] = 0$.

2) Приподнятое действие Галилея на фазовое пространство$Q = \{x^1, x^2, x^3, p_1, p_2, p_3\}$

Смысл снятия действия состоит в том, чтобы фактически написать лагранжиан и найти нётеровские заряды указанной выше симметрии: заряды как функции в фазовом пространстве будут генерировать центрально расширенную версию группы. Применяя теорему Нётер, получаем следующие выражения зарядов Нётер:

Перевод:$P_i = p_i$

Способствовать росту:$G_i = P_i t - m x^i$.

Канонические скобки Пуассона в$t=0$(поскольку фазовое пространство — это пространство исходных данных):$\{P_i, G_j\} = m \delta_{ij}$

Причина того, что поднятое действие является центральным расширением, заключается в том, что алгебра Пуассона самого многообразия является центральным расширением пространства гамильтоновых векторных полей,

$$0\rightarrow \mathbb{R}\overset{i}{\rightarrow} C^{\infty}(M)\overset{X}{\rightarrow} \mathrm{Ham}(M)\rightarrow 0$$

Где карта$X$генерирует гамильтоново векторное поле из заданного гамильтониана:

$$X_H = \omega^{ij}\partial_{j}H$$

($\omega$является симплектической формой. Точная последовательность просто указывает на то, что все гамильтоновы векторные поля постоянных функций равны нулю).

Таким образом, если алгебра Ли допускает нетривиальное центральное расширение, это расширение может материализоваться в скобках Пуассона (результатом скобки Пуассона может быть постоянная функция).

3) Причина того, что действие также расширено, заключается в том, что в квантовой механике волновые функции являются сечениями линейного расслоения над конфигурационным многообразием. Линейный пучок сам по себе является$\mathbb{C}$пучок над коллектором:

$$0\rightarrow \mathbb{C}\overset{i}{\rightarrow} \mathcal{L}\overset{\pi}{\rightarrow} M\rightarrow 0$$

таким образом, можно было бы ожидать расширения в поднятом групповом действии. Линейные расслоения могут приобретать нетривиальные фазы при заданном преобразовании. В случае бустов уравнение Шредингера не инвариантно относительно бустов, если только преобразование волновой функции не имеет формы:

$$\psi(x) \rightarrow \psi'(x) = e^{\frac{im}{\hbar}(vx+\frac{1}{2}v^2t)}\psi(x+vt)$$

Бесконечно малые импульсные генераторы:

$$\hat{G}_i = im x_i + \hbar t \frac{\partial}{\partial x_i}$$

Таким образом, в$t=0$, мы получили:$[\hat{G}_i, \hat{P}_j] = -im \hbar\delta_{ij}$

Таким образом, действие группы Галилея на конфигурационном пространстве свободной частицы не расширено, в то время как действие на алгебру Пуассона фазового пространства и квантовое линейное расслоение нетривиально расширено по центру.

Классификация групповых действий на линейных расслоениях и центральных расширениях может быть выполнена с помощью когомологий групп Ли и алгебр Ли . Хорошим справочником по этому вопросу является книга Аскарраги и Искьердо. Эта книга содержит подробное рассмотрение когомологий алгебры Галилея. Также есть две читаемые статьи ван Холтена: ( первая , вторая ).

Групповые действия на линейных расслоениях (т. е. квантовая механика) классифицируются первой группой когомологий группы Ли, а центральные расширения классифицируются второй группой когомологий алгебры Ли. Проблема нахождения центральных расширений алгебр Ли может быть сведена к управляемой алгебраической конструкции. Можно сформировать BRST-оператор:

$$Q = c^i T_i + f_{ij}^k c^i c^j b_k$$

Где$b$абд$c$являются антикоммутирующими сопряженными переменными:$\{b_i, c_j \} = \delta_{ij}$.$T_i$являются генераторами алгебры Ли.

Нетрудно убедиться, что$Q^2 = 0$

Если мы сможем найти постоянное решение уравнения$Q \Phi = 0$с$\Phi = \phi_{i j} c^i c^j$

которое по компонентам принимает следующий вид, имеем

$$f_{[ij|}^k \phi_{k|l]} = 0$$

(Скобки в индексах означают, что индексы$i, j, l$являются антисимметричными. Затем закрывается следующее центральное расширение:

$$[\hat{T}_i, \hat{T}_j] = i f_{ij}^{k} \hat{T}_k + \phi_{ij}\mathbf{1}$$

Вторая группа когомологий алгебры Ли группы Пуанкаре равна нулю, поэтому она не имеет нетривиального центрального расширения. Намек на это можно найти в том факте, что релятивистское действие свободной частицы инвариантно относительно преобразований Пуанкаре. (Однако это не полное доказательство, поскольку оно предназначено для конкретной реализации). Общая теорема когомологий алгебр Ли утверждает, что полупростые алгебры Ли имеют исчезающую вторую группу когомологий. Полупрямые произведения векторных пространств и полупростых алгебр Ли также имеют исчезающие вторые когомологии при условии, что на векторном пространстве нет инвариантных двух форм. Это случай группы Пуанкаре. Конечно, можно доказать частный случай группы Пуанкаре описанным выше методом БРСТ.

Центральные расширения классифицируются по второй группе когомологий: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_extension . Если эта группа тривиальна, то каждое центральное расширение полупрямое (а значит, в каком-то смысле тривиальное). В частности, это относится к группе Пуанкаре, но не к группе Галилея.

Однако, если вы хотите взять нерелятивистский предел, начиная с группы Пуанкаре, вам нужно ввести нерелятивистскую энергию$E= cp_0 -mc^2$, что можно сделать только в (тривиальном) 11-мерном центральном расширении группы Пуанкаре с помощью центральной образующей, массы$m$. В этой форме представления группы Пуанкаре и группы Галилея могут выглядеть очень похожими.