Общие преобразования координат?

Question

Общие преобразования координат?

ДжейДжей

Скажем, у меня есть векторное поле, выраженное в декартовых координатах:

А "=" \sum_{я} А_{я} {\hat{е}}_{я}

$\mathbf{A} = \sum_i A_i \mathbf{\hat{e}}_i$ где

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\mathbf{e}}_i$ являются обобщением единичных векторов

\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}

$\mathbf{\hat i}, \mathbf{\hat j}, \mathbf{\hat k}$ из 3-х измерений.

Я хочу знать, как определить компоненты $A_i'$ того же векторного поля $\mathbf{A}$ выражается через другую ортонормированную систему координат:

А "=" \sum_{я} А_{я}^{'} {\hat{е}}_{я}^{'} .

$\mathbf{A} = \sum_i A_i' \mathbf{\hat{e}}_i'.$ Конечно, поскольку

{\hat{e}}_{i}^{'} \cdot {\hat{e}}_{j}^{'} = δ_{i j}

$\mathbf{\hat{e}}_i'\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \delta_{ij}$ , мы можем определить эти компоненты следующим образом:

А_{Дж}^{'} "=" А \cdot {\hat{е}}_{Дж}^{'} "=" \sum_{я} А_{я} {\hat{е}}_{я} \cdot {\hat{е}}_{Дж}^{'} .

$A_j' = \mathbf{A}\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \sum_i A_i \mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j'.$ теперь думаю посчитать

{\hat{e}}_{i} \cdot {\hat{e}}_{j}^{'}

$\mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j'$ вообще утомительно. Однако я видел, как в разных местах написано (например, в книге Арфкена, Вебера и Харриса ), что для линейных преобразований координат новые компоненты могут быть рассчитаны с помощью

А_{Дж}^{'} "=" \sum_{я} А_{я} \frac{\partial {Икс}_{Дж}^{'}}{\partial {Икс}_{я}}

$A_j' = \sum_i A_i \frac{\partial x_j'}{\partial x_i}$ где

x_{i}

$x_i$ - декартовы координаты и

x_{j}^{'}

$x_j'$ это новые координаты. Для преобразования линейных координат это имеет смысл, но я также видел, как это используется для общих преобразований координат, таких как декартовы координаты в криволинейные.

Действительно ли это верно для преобразований в криволинейные координаты, т.е. $\mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \partial x_j' / \partial x_i$ ? И если да, то почему?

Ответы (1)

Общие преобразования координат?

каверак · Answer 1

Вы нечаянно наткнулись на всю идею криволинейных координат и ее глубокую связь с дифференциальной геометрией. Это основная идея, в основе $\{{\bf e}_i \}_i$ вы можете записать вектор положения точки как

Икс "=" \sum_{я} {Икс}^{я} е_{я}

${\bf x} = \sum_i x^i {\bf e}_i$

Теперь представьте плавное преобразование координат вида $x^i = f^i({\bf q})$ , и обратное ему $q^i = g^i({\bf x})$ . Примеры включают сферическую координату $(q^1, q^2, q^3) = (r, \theta, \phi)$ , цилиндрические координаты $(q^1, q^2, q^3) = (R, \phi, z)$ , ... и конечно же линейные преобразования.

Теперь, условие $q^i = f^i({\bf x}) = {\rm const}$ определяет поверхность. Например, в сферическом случае $q^1 = {\rm const}$ определяет сферу, $q^2 = {\rm const}$ определяет конус и $q^3 = {\rm const}$ самолет. Вы можете думать о точке как о пересечении этих поверхностей. И унитарные векторы, связанные с этими новыми координатами как касательные к этой поверхности по каждой координате.

Таким образом, понятие базового вектора теперь зависит от местоположения, они указывают в разных направлениях в зависимости от того, где вы стоите, но важно помнить, что они касаются поверхностей. $f^i({\bf q}) = {\rm const}$ . Теперь, имея под рукой эту информацию, вы можете их построить.

е_{я}^{'} \sim \frac{\partial Икс}{\partial д^{я}}

${\bf e}'_i \sim \frac{\partial {\bf x}}{\partial q^i}$

Где я пропустил знак " $=$ ", чтобы подчеркнуть, что вам нужно нормализовать результат, чтобы гарантировать $|{\bf e}'_i| = 1$ . Теперь вернемся к вашему вопросу, предполагая, что база $\{e_i \}_i$ не зависит от координат, например декартова система координат

е_{я} \cdot е_{Дж}^{'} "=" е_{я} \cdot {\frac{\partial}{\partial д^{Дж}}}_{к} \sum {Икс}^{к} (д) е_{к} "=" \frac{\partial {Икс}^{я} (д)}{\partial д^{Дж}}

${\bf e}_i \cdot {\bf e}'_j = {\bf e}_i \cdot \frac{\partial}{\partial q^j}_k\sum x^k({\bf q}) {\bf e}_k = \frac{\partial x^i({\bf q})}{\partial q^j}$

Это здорово, спасибо! У меня только один вопрос. Если включить нормализацию, $\mathbf{\hat{e}}_i' = \frac{\partial\mathbf{x}/\partial q^i}{|\partial\mathbf{x}/\partial q^i|}$ , так что конечным результатом будет не равенство, а пропорциональность. Есть ли способ обойти это?
@ Жан-Жак Не совсем, но на самом деле ты не хочешь. Нормализация играет огромную роль в преобразовании. Он определяет метрику, которая оказывается очень фундаментальной концепцией.
@caverac: Привет, твой ответ мне очень помог. Я действительно хотел понять ваш ответ с точки зрения касательных/котангенсных пространств и задал дополнительный вопрос (к вашему ответу) здесь: math.stackexchange.com/questions/3490345/… Я был бы очень признателен, если бы вы могли получить посмотри и помоги мне с этим!
@ShirishKulhari Отлично! Рад, что тебе помогло. посмотрю сегодня вечером

Общие преобразования координат?

ДжейДжей

Ответы (1)

каверак

ДжейДжей

каверак

Шириш Кулхари

каверак

Как преобразуется векторное поле при бесконечно малом преобразовании координат?

О символе Кристоффеля и векторных полях

Путаница по поводу ковариантных и контравариантных векторов

Влияние изменения координат на уравнения Эйлера-Лагранжа для скалярных полей

Разница между преобразованиями компонент координат и векторов

контравариантные и ковариантные векторы и их ортогональность в евклидовом пространстве

Применимы ли уравнения общей теории относительности ко всем системам координат?

Как понять определение вектора и тензора?

Как может набор компонентов не составить вектор?

Ковариантный и контравариантный 4-вектор в специальной теории относительности