Ковариантный и контравариантный 4-вектор в специальной теории относительности

Метрика не всегда имеет вид

Если вы измените свои системы координат, изменив масштаб$x^0$ось по$1000$, метрика будет

и обратная метрика будет

И поднятие и опускание должно быть сделано с этими объектами.

В общем, если у вас есть произвольное изменение координат$q^\mu=F^\mu(x)$, то компоненты векторов изменятся от$X^\mu$к$\frac{\partial F^\mu(x)}{\partial x^\nu}X^\nu$, где подразумевается сумма по индексам, встречающимся дважды.

Метрика и обратная метрика также преобразуются в:

И вы можете обнаружить, например, если вы переключитесь на сферические координаты, что метрика больше не является постоянной в вашем пространстве.

Я бы предпочел ответить через комментарий, но мне пока не разрешено это делать. Ответ s.harp является оперативно правильным в том смысле, что он дает вам правильные свойства преобразования «ковариантных» и «контравариантных» векторов и метрики, поэтому вы должны придерживаться их при работе с уравнениями. Однако вы должны знать, что ваше замешательство возникает из-за того, что геометрическая структура и математические инструменты специальной теории относительности более правильно определены в контексте дифференциальной геометрии, как пытался сказать 0celo7 в комментарии. К сожалению, дифференциальная геометрия не преподается на начальных курсах физики, и это приводит к необходимости много махать руками с определениями и понятиями в таких предметах, как специальная теория относительности, что, в свою очередь, сбивает с толку вдумчивых студентов. Мой совет — прочитать первые несколько глав вводной книги по дифференциальной геометрии, по крайней мере, до того момента, когда в ней говорится о дифференциальных 1-формах. Уверяю вас, что это не только рассеет ваши сомнения, но и даст вам четкое представление о том, что такое специальная теория относительности. Если вы заинтересованы, свяжитесь со мной в приват (опять же, я не могу отвечать на комментарии).

Несмотря на то, что мы используем термины «контравариантный тензор» или «ковариантный тензор», на самом деле мы имеем в виду компоненты тензора , а не сам тензор. Сам тензор не зависит от используемой нами системы координат. Контравариантные компоненты тензора, например, получаются путем разложения тензора на компоненты в терминах так называемых координатных базисных векторов.

Предположим, у нас есть вектор$\vec{v}$и предположим, что у нас есть два набора базисных векторов:

$\vec{v}=v^1\hat{e_1}+v^2\hat{e_2}+v^3\hat{e_3}$где верхние индексы не являются показателями, а указывают на n-й компонент вектора, а нижние индексы - соответствующие единичные векторы.

В другом базисе мы могли бы иметь$\vec{v}=u^1\hat{\epsilon_1}+u^2\hat{\epsilon_2}+u^3\hat{\epsilon_3}$

$\vec{v}$— это один и тот же объект независимо от того, в какой системе координат он находится. Это один и тот же геометрический объект.

Существует процесс, посредством которого компоненты берутся в$v^\alpha$систему координат и получить компоненты в$u^\nu$система координат. Эта операция линейна по$v$координат и имеет соответствующее обратное преобразование. Операция может быть представлена ​​как произведение матрицы с вектором, состоящим из координат.

Существует отдельное, но родственное правило преобразования для базисных векторов. По сути, это матрица путем умножения матриц, в отличие от предыдущей матрицы путем умножения векторов. Кроме того, в то время как предыдущее преобразование отображало координаты в координаты, то есть действительные числа в действительные числа, это преобразование отображает векторы в векторы. Объекты, которые нужно трансформировать, разные. Любой вектор, включая единичный вектор в одной системе координат, может быть представлен как линейная комбинация единичных базисных векторов другой системы координат.

Координаты не являются векторами, которые они представляют. Они должны умножить соответствующий единичный вектор, чтобы получить полный вектор.

Пусть парные индексы вверх и вниз представляют многократное умножение:

Пусть латинские буквы представляют координаты в одной системе, а греческие индексы coordiantes в другой, тогда вектор v имеет представления:

Для перехода из одной системы координат в другую можно иметь$v^a=\Lambda_\mu^av^\mu$, где снова повторяющиеся повышенные и пониженные индексы подразумевают повторное суммирование и

Где$x^a$это$a_{th}$координаты одной системы координат и$x^\mu$это$\mu_{th}$координата другого.

Следите за латинскими и греческими индексами.

Преобразование для базисных векторов$\Lambda^\mu_a$. Индексы переворачиваются, но это не всегда обратное преобразование. Это «направление, противоположное» процедуре преобразования координат.

Если объект преобразуется так же, как базисные векторы, это ковариантный вектор, также называемый 1-формой. Если он преобразуется как координаты и, следовательно, в противоположном направлении, как базисные векторы, это контравариантный вектор или просто вектор.

1-форму также можно представить геометрически как ряд бесконечно малых плоскостей, расположенных параллельно друг другу с некоторым интервалом. Вектор одной длины, как правило, пронзает больше плоскостей, если он параллелен нормали к плоскостям, чем если он касается плоскостей наклонно. Мы можем связать обычное понятие скалярного произведения с тем, сколько плоскостей пронизывает данный вектор.

В этом формализме мы не говорим, что вы берете два вектора, чтобы получить скалярный продукт. Вы берете вектор и одну форму, чтобы получить внутренний продукт.

Если у вас есть$a^i$и$b^j$,$a^ib^j$не является их внутренним продуктом, даже если$i=j$в общей системе координат. Помните, что нам нужны повышенный и пониженный индекс соответствия для выполнения суммы. У нас есть только внутренний продукт с указанной метрикой,$g_{ij}$(хотя в пространстве Минковского тот, в котором все координаты равны 1 по диагонали, ноль в другом месте принимает кордиант времени/времени, который равен -1. ).

На этот раз повторяющиеся индексы подразумевают двойную сумму. У нас есть соответствующие повышенные и пониженные индексы, поэтому мы можем выполнить суммирование, чтобы получить скалярный продукт.

Сейчас$g_{ij}v^i$имеет свой особый смысл. Вы можете узнать это как процедуру понижения индекса. Это становится$v_i$, координата, связанная с базисной 1-формой. Один верхний индекс представляет собой координату вектора, один нижний индекс представляет собой координату 1-формы.

См. он для получения дополнительной информации об одной форме

Размерность не меняется при ковариантном/контравариантном преобразовании, потому что, если мы думаем о ковекторах как о двойственном пространстве на контравекторах (и наоборот), мы использовали бы умножение$X^\mu X_\mu$для вычисления нормы двух векторов -$||X_\mu||=\sqrt{X_\mu X^\mu}$, таким образом$[||X_\mu||]=\left[\sqrt{x_\mu X^\mu}\right]=\sqrt{\left[X_\mu\right]}\sqrt{\left[X^\mu\right]}$и, поскольку мы требуем$[||X_\mu||]=[X_\mu]$это дает$[X_\mu]=[X^\mu]$, следовательно, 4-вектор ковариантного расстояния по-прежнему имеет единицы длины.