контравариантные и ковариантные векторы и их ортогональность в евклидовом пространстве

«Сжатие-ортогональность» ковариантного и контравариантного базиса

Контравариантные векторы или просто «векторы» определяются как элементы касательного пространства в данной точке. На практике они определяются относительно координатно-векторного базиса$\mathbf{e}_{(i)}$, где$\mathbf{e}_{(i)}$вектор, касательный$i$-я координатная линия. Затем они задаются, как обычно, в виде линейной комбинации базисных векторов ( в дальнейшем предполагается суммирование Эйнштейна )

$$\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_{(i)}$$

Ковариантные векторы или «1-формы», с другой стороны, являются более абстрактными объектами, которые определяются исключительно через их действие на контравариантные векторы. Например, 1-форма, действующая на (контравариантный вектор), вернет число

$$\mathbf{\alpha}(\mathbf{v}) = C,\,C \in \mathbb{R}$$

Еще одно требование к 1-форме$\alpha$заключается в том, что его действие линейно , то есть для любых векторов$\mathbf{v},\,\mathbf{w}$и любые две константы$D$,$E$

$$\alpha(D \mathbf{v} + E \mathbf{w}) = D \alpha(\mathbf{v}) + E \alpha(\mathbf{w})$$ На самом деле это означает, что мы можем полностью реконструировать его действие из компонентов $\alpha_i \equiv \alpha(\mathbf{e}_{(i)})$потому что тогда благодаря линейности (убедитесь в этом сами) $$\alpha(\mathbf{v}) = \alpha_i v^i$$ В качестве альтернативы вы можете определить $\alpha_i$как компоненты относительно ковариантного базиса $\alpha = \alpha_i \epsilon^{(i)}$где $\epsilon^{(i)}$определяется свойством _ $$\epsilon^{(i)}(\mathbf{e}_{(j)}) = \delta^i_j$$ То есть «сжатие-ортогональность» ковариантных и контравариантных базисов не имеет ничего общего с геометрическим определением расстояния или углов (также известного как метрика).

---

Повышение и понижение индексов

Теперь рассмотрим пространство, в котором у нас есть метрика$g_{ij}$, абстрактно мы можем определить его как

$$\mathbf{g}(\mathbf{v},\mathbf{w})=C,\,C \in \mathbb{R}$$ где мы снова требуем линейности. Теперь рассмотрим форму $\kappa$определяется $\kappa(\mathbf{w}) \equiv \mathbf{g}(\mathbf{u},\mathbf{w})$для некоторого вектора $\mathbf{u}$. $\kappa$является полноценной формой, определенной выше, можно показать, что ее компоненты $$\kappa_i = g_{ij} u^j$$ физикам это известно как «снижение индекса». Предположим, что метрика невырождена, что означает, что $u \leftrightarrow \kappa$является взаимно-однозначным отношением, и мы можем найти обратное $\mathbf{g}^{-1}$. Компоненты обратной метрики обычно обозначаются как $g^{ij}$где $g_{ij} g^{jk} = \delta^i_k$является определяющим свойством. Затем «повышение индекса» от форм к векторам определяется формулой $$w^i = \beta_j g^{ij}$$ На самом деле эта операция настолько распространена в метрической геометрии, что физики (особенно релятивисты) просто говорят, что это «один и тот же объект с индексами вверх или вниз», т.е. $$\kappa_i = v^j g_{ij} \equiv v_i$$ и $$w^i = \beta_j g^{ij} \equiv \beta^i$$

---

Неортогональные базы

Мы можем взять контравариантные базисные векторы и проверить, ортогональны ли они, просто взяв

$$\mathbf{g}(\mathbf{e}_{(i)},\mathbf{e}_{(j)}) =?$$ или ковариантный базис $$\mathbf{g}^{-1}(\mathbf{\epsilon}^{(i)},\mathbf{\epsilon}^{(j)}) =?$$ В этом смысле ковариантные и контравариантные базисные векторы могут быть ортогональными или неортогональными.

Меня немного не устраивает то, как статья выше «смешивает» ковариантные и контравариантные векторы вместе. Пытаясь оценить, является ли$\mathbf{e}_{(i)}$и$\epsilon^{(j)}$ортогональны, не имеет особого смысла, потому что это просто разные геометрические объекты. (Если вы попытаетесь повысить/понизить индекс любого из них с помощью метрики, а затем использовать метрику для скалярного произведения результата, вы тривиально получите ортогональность из определяющих свойств базисов и метрики/обратной метрики, упомянутой выше. Вы можете легко убедиться в этом сами.)