Как преобразуется векторное поле при бесконечно малом преобразовании координат?

Если$X^\mu(x)$векторное поле в терминах координат$\{x^\mu\}$и мы рассматриваем бесконечно малый сдвиг,

$$x^\mu \to x^\mu + v^\mu(x)$$

тогда векторное поле$X^\mu$изменяется согласно производной Ли относительно вектора$v^\mu$, то есть имеем то,

$$\delta X^\mu = \mathcal L_v X^\mu = v^\nu \nabla_\nu X^\mu - X^\nu \nabla_\nu v^\mu$$

просто применяя правила дифференцирования Ли тензора. Если многообразие полностью плоское, то ковариантные производные понижаются до частных производных,

$$\delta X^\mu = v^\nu \partial_\nu X^\mu - X^\nu \partial_\nu v^\mu$$

восстановление выражения, заданного OP. Заметить, что$v^\nu \partial_\nu$совпадает с вектором$v^\mu$выражается как производное.$^\dagger$Таким образом, мы можем написать,

$$\mathcal L_v X = [v,X]$$

со скобкой Ли, где$v$и$X$поля, выраженные как производные, т.е. операторы.

---

$\dagger$Вектор как производную можно рассматривать как производную по направлению. В частности, для вектора$v$и карта$f : \mathbb R^n \to \mathbb R$, у нас есть это,

$$D_v f(x) = \frac{d}{d\lambda} f(x + \lambda v) \bigg\rvert_{\lambda = 0} = v^\mu \partial_\mu f (x).$$

Интерес представляет случай, когда$v$является вектором вдоль кривой, т. е. вектором, касательным вдоль пути, и в этом случае можно определить дифференцирование отображения вдоль пути на многообразии.