Объяснение уравнения, показывающее неудачный подход к релятивизации уравнения Шредингера

Павел,

Это конкретное написание проблемы в статье я тоже всегда считал неаккуратным. Самая запутанная часть обсуждения - это утверждение «Уравнение неразрывности такое же, как и раньше». Сначала уравнение неразрывности записывается как:

$$\nabla \cdot J + \dfrac{\partial\rho}{\partial t} = 0$$

Хотя оператор del может быть определен как бесконечномерный, он часто зарезервирован для трех измерений, поэтому конструкция предложения не дает четкой интерпретации. Если вы посмотрите на сохраняющийся ток, вы найдете 4-векторную версию уравнения непрерывности:

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

Что важно в выводе в статье в Википедии, так это преобразование плотности, не зависящей от времени, в плотность, зависящую от времени, или, скорее:

$$\rho = \phi^*\phi$$

становится

$$\rho = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*)$$

намерение ясно, желание сделать временную составляющую той же формы, что и пространственные. Уравнение тока теперь:

$$J^\mu = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*)$$

который теперь содержит компонент времени. Таким образом, уравнение непрерывности, которое следует использовать, выглядит следующим образом:

$$\partial_\mu J^\mu = 0$$

где капитализация$J$кажется произвольным выбором в выводе.

В том, что это намерение, можно убедиться, обратившись к статье о токе вероятности .

Из вышесказанного я вижу, что внезапная вставка утверждения, которое можно произвольно выбрать

$$\psi$$ и $$\dfrac{\partial \psi}{\partial t}$$ не очень хорошо объясняется. Эта часть статьи также была для меня источником путаницы, пока я не понял, что автор пытается перейти к обсуждению уравнения Клейна-Гордона.

Быстрый поиск в Интернете по запросу «вероятностный ток и уравнение Кляйна-Гордана» находит хорошие ссылки, в том числе хорошую ссылку с физического факультета Калифорнийского университета в Дэвисе . Если вы проследите за обсуждением в статье, вы увидите, что оно подтверждает, что аргумент действительно пытается перейти к обсуждению уравнения Клейна-Гордона и установить связь с плотностью вероятности.

Теперь, если еще раз быстро поискать «отрицательные решения уравнения Клейна-Гордана», можно найти хорошую статью физического факультета Университета Огайо . Там мы получаем хорошее обсуждение уравнения 3.13 в статье, которая повторяет, что, когда мы переопределили плотность, мы ввели некоторую дополнительную изменчивость. Итак, уравнение:

$$\rho = \dfrac{i\hbar}{2mc^2}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*)$$

(где в оригинале с было установлено значение 1) действительно лежит в основе проблемы (подтверждая намерение в исходной статье). Тем не менее, это, вероятно, все еще не удовлетворяет вопрос,

"кто-нибудь может показать мне, почему выражение для плотности не является положительно определенным?",

но если вы отправитесь в небольшой поход по магазинам, вы можете найти книгу Дэвида МакМэхона «Демистификация квантовой теории поля » (и есть несколько бесплатных загрузок, но я не буду ссылаться на них из уважения к автору), и если вы перейдите на стр. 116, вы найдете обсуждение:

Вспоминая раствор свободных частиц

$$\varphi(\vec{x},t) = e^{-ip\cdot x} = e^{-i(Et- px)}$$ производные по времени $$\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = -iEe^{-i(Et- px)}$$ $$\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t} = iEe^{i(Et- px)}$$ У нас есть $$\varphi^*\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = e^{i(Et- px)}[-iEe^{-i(Et- px)}] = -iE$$ $$\varphi\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t} = e^{-i(Et- px)}[iEe^{i(Et- px)}] = iE$$ Итак, плотность вероятности $$\rho = i(\varphi^*\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} - \varphi\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t}) = i(-iE-iE) = 2E$$ Пока все выглядит хорошо, если не считать этих надоедливых решений с отрицательной энергией. Помните, что $$E = \pm\sqrt{p^2+m^2}$$ В случае решения с отрицательной энергией $$\rho = 2E =-2\sqrt{p^2+m^2}<0$$ что является отрицательной плотностью вероятности, что просто не имеет смысла.

Надеюсь, это поможет, понятие отрицательной вероятности не имеет смысла, потому что мы определяем вероятность на интервале [0,1], поэтому по определению отрицательные вероятности не имеют смысла. Люди иногда упускают из виду этот момент, когда пытаются разобраться в вещах, но логически любое обсуждение отрицательных вероятностей бессмысленно. Вот почему КТП в конечном итоге переосмыслила уравнение Клейна-Гордана и переделала его для уравнения, управляющего операторами рождения и уничтожения .