Полный набор и уравнение Клейна-Гордона

В http://www.physics.ucdavis.edu/~cheng/teaching/230A-s07/rqm2_rev.pdf говорится, что при наличии некоторого внешнего потенциала уравнение Клейна-Гордона изменяется, и говорится следующее:

Решение Ψ всегда можно выразить как суперпозицию растворов свободных частиц при условии, что последние образуют полный набор. Они из полного набора только в том случае, если сохраняются негативные энергетические составляющие, поэтому их нельзя просто выбросить.

Кто-нибудь может объяснить, о чем идет речь? Прежде всего, что такое комплектация? И почему формирование полного набора требует сохранения негативных энергетических составляющих? Почему уравнения (решения, наверное) должны быть полными?

Ответы (1)

Это утверждение неверно. Решения с положительной энергией свободного уравнения Клейна-Гордона образуют полный набор. Это означает, что любая волновая функция вида ψ ( Икс ) где x изменяется в пространстве, а не во времени, можно записать в виде суммы решений для свободных частиц.

В этом случае вы делаете это с помощью преобразования Фурье: вы пишете ψ ( Икс ) как

ψ ( Икс ) "=" ∫ е я к ⋅ Икс ψ ( к ) г к

и это расширяет произвольную функцию, а затем вы делаете ее зависимой от времени, заменяя е я к ⋅ Икс с е я к ⋅ Икс − я Е к т где Е к "=" к 2 + м 2 . Результат дает положительную эволюцию энергии во времени любых начальных данных волновой функции.

Это нехорошо не потому, что оно неполно, а потому, что оно не является локальным — одночастичные решения с положительной энергией распространяются быстрее света. Это требует создания теории нескольких частиц, чтобы исправить формализм.

Полнота не является полнотой в смысле выражения каждого решения уравнения Клейна-Гордона через начальные данные, поскольку начальными данными для KG является функция ψ и это первая производная по времени. Это не данные, которые вы указываете для квантово-механической волновой функции, это данные для классического поля.

Книга запутана в этом вопросе, и вам следует пропустить эту часть.

Я пропущу эту часть, но вопрос: так как же добавление отрицательной энергии приводит к сохранению локальности? И как это связано с теорией множественных частиц?..
Я думаю... кажется, это снова связано с преобразованием Фурье, но не уверен.
@PaulReubens: Это не имеет прямого отношения, потому что поле - это поле, а волновая функция - это волновая функция. Сначала попытайтесь концептуально разделить их. Позже вы увидите, что для асимптотических частиц или для пертурбативных виртуальных частиц они подчиняются свободному уравнению для поля, поэтому вы можете в значительной степени отождествить эти две концепции. Исторически это огромная путаница, заражающая почти всю литературу, за некоторыми исключениями. Я бы добавил, что Фейнман перепутал поля и волновые функции в 1940-х годах, но сделал это правильно , это не совсем неправильно, просто неоптимально.
@RonMaimon Вы говорите: «... одночастичные решения с положительной энергией [KGE] перемещаются быстрее света». Можете ли вы привести доказательство или объяснение? Поскольку одночастичные решения с положительной энергией подчиняются КГЭ, которая является релятивистски инвариантной, как они могут двигаться быстрее, чем с?
@jak Ссылка, которую вы дали, говорит: «фазовая скорость> 𝑐, но это не имеет ничего общего с передачей информации или энергии ...» Это групповая скорость, которая всегда <c, может передавать информацию и передачу энергии.
@ Майкл Б. Хини, конечно. Рон также не сказал, что происходит сверхсветовая передача информации. Просто если мы посмотрим на одну частицу (одну плоскую волну) изолированно, мы заметим, что она движется со скоростью больше, чем с . Конечно, это не то, что мы можем наблюдать в природе. Физическая частица описывается волновым пакетом и движется с в < с . Но ваш вопрос, казалось, был о том, почему положительные энергетические решения КГЭ могут двигаться быстрее, чем с и ссылка, которую я предоставил, отвечает на этот вопрос.
Полный набор и уравнение Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v