Импульс кристалла в периодическом потенциале

Question

Импульс кристалла в периодическом потенциале

Ультима

Я работаю над базовой теорией периодических потенциалов и был бы признателен за помощь в понимании импульса кристалла. Предположим, что у нас есть решетка Браве с векторами решетки $\textbf{R}$ . Существует связанная обратная решетка с векторами решетки $\textbf{K}$ такой, что $\textbf{K} \cdot \textbf{R} = 2\pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$ . Связь между этими двумя решетками обеспечивает существование плоских волн вида $e^{i \textbf{K} \cdot \textbf{r}}$ являются периодическими в прямой решетке. Следствием теоремы Блоха является то, что состояния $\langle x|\psi \rangle$ частицы принимают вид

ψ_{н к} (р) "=" е^{я к \cdot р} ты (р),

$\psi_{n\textbf{k}}(\textbf{r}) = e^{i \textbf{k} \cdot \textbf{r}}u(\textbf{r}),$

где

ты (р + р) "=" ты (р) .

$u (\textbf{r} + \textbf{R}) = u(\textbf{r}).$

Для этих волновых функций $\textbf{p} \equiv \hbar \textbf{k}$ определяется как импульс кристалла. Канонический импульс плохо определен для этой задачи, поскольку кристалл нарушает трансляционную симметрию. Однако для любого перевода $T_{\textbf{R}}$ внутри вектора решетки, $[H, T_{\textbf{R}}] = 0$ . Мои вопросы:

В первом уравнении я в настоящее время считаю, что $\textbf{k}$ может быть любым вектором и не обязательно входит в набор обратных волновых векторов (т.е. $\textbf{k} \notin \{\textbf{K}\}$ обязательно). Поскольку это правда, то что $\psi_{n\textbf{k}+\textbf{K}}?$
Предположим, что частица имеет кристаллический импульс $\textbf{p} = \hbar \textbf{k}$ . Как мы интерпретируем $\textbf{p}' = \hbar (\textbf{k} + \textbf{K})$ ?
Хотя в решетке нет непрерывной симметрии, существует дискретная симметрия потенциала $U(\textbf{r} + \textbf{R}) = U(\textbf{r})$ , а значит, и гамильтониана. Если здесь неприменима теорема Нётер, то какая величина «сохраняется» во времени и как вообще можно обосновать такое сохранение?

Никос М.

на макушке моей головы,

K

$K$ похоже на ядро/нулевое пространство импульсов, поэтому

k + K

$k+K$ импульс, действующий на состояние, должен иметь тот же эффект, что и

k

$k$ импульс, действующий на состояние (при условии, что утверждается, что

k \notin {K}

$k \notin \{K\}$ )

Ответы (1)

Импульс кристалла в периодическом потенциале

на макушке моей головы, $K$ похоже на ядро/нулевое пространство импульсов, поэтому $k+K$ импульс, действующий на состояние, должен иметь тот же эффект, что и $k$ импульс, действующий на состояние (при условии, что утверждается, что $k \notin \{K\}$ )

Xcheckr · Answer 1

(1) Поскольку $u(\textbf{r}) = u(\textbf{r}+\textbf{R})$ , мы можем разложить эту часть по векторам обратной решетки, $u_k(\textbf{r}) = \sum_\textbf{G}{e^{i\textbf{G}\cdot \textbf{r}}u_\textbf{k-G}}$ . Поэтому мы можем написать:

ψ_{к + К} "=" е^{я (к + К) \cdot р} \sum_{Г'} е^{я Г' \cdot р} {ты}_{к - К - г^{'}} "=" е^{я к \cdot р} \sum_{Г'} е^{я (Г' + К) \cdot р} {ты}_{к - К - г^{'}} "=" е^{я к \cdot р} \sum_{г} е^{я г \cdot р} {ты}_{к - г} "=" ψ_{к}

$\begin{equation} \psi_{\textbf k+\textbf K} = e^{i(\textbf k + \textbf K)\cdot \textbf r}\sum_\textbf{G'}{e^{i\textbf{G'}\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf K- \textbf G'}} = e^{i\textbf k \cdot \textbf r}\sum_\textbf{G'}{e^{i(\textbf{G'}+\textbf K)\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf K- \textbf G'}}=e^{i\textbf k \cdot \textbf r}\sum_\textbf{G}{e^{i\textbf{G}\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf G}} = \psi_\textbf k \end{equation}$ где

G = K + G^{'}

$\textbf G = \textbf K+\textbf G'$ .

(2) Вы можете интерпретировать $\textbf p'$ как равный $\textbf p$ . Это верно, потому что реальная пространственная решетка периодична; $\textbf k$ всегда равно $\textbf k + \textbf K$ .

(3) Сохраняемое количество равно $\textbf k$ $\textit mod$ $\textbf K$ . Вы можете видеть, что я использовал этот факт в ответе на (2).

Вы можете прочитать почти любой учебник по физике твердого тела для полного обоснования, хотя мой личный фаворит — «Теория твердых тел» Зимана.

О, спасибо, что развеяли мою путаницу! Имеет смысл, что вы должны расширить $\psi$ в k-пространстве, чтобы получить равенство. Не могли бы вы указать мне на доказательство того, как следует, что $\textbf{k}$ сохраняется величина? Я предполагаю, что это, вероятно, состоит в том, чтобы выразить гамильтониан также в k-пространстве и показать, что [H, k] = 0, но я могу ошибаться.
Ну, это не сохраняющаяся величина как таковая (только $\textbf k mod \textbf K$ ). Во всяком случае, Эшкрофт и Мермин, глава 8, довольно хороша в этом плане.
Это то, о чем я думал. Это не сохраняющаяся во времени величина, а просто величина, инвариантная относительно преобразований вида: $к \to к + К$ $\textbf{k} \to \textbf{k} + \textbf{K}$
@Ultima Почему бы не рассмотреть коммутационное соотношение $[H,T_{\textbf{R}}]=0$ плюс уравнение движения Гейзенберга, чтобы утверждать, что $\textbf{k}$ сохраняется во времени? Мы также можем предположить $\textbf{k}$ быть генератором $T_{\textbf{R}}$ .

Импульс кристалла в периодическом потенциале

Ультима

Никос М.

Ответы (1)

Xcheckr

Ультима

Xcheckr

Ультима

СРС

Обзор и сомнения по поводу теоремы Блоха и концепции частичной плотности состояний

Сохранение импульса кристалла

Закон дисперсии вблизи зон Бриллюэна - Периодические потенциалы

Существуют ли трансляционно-инвариантные гамильтонианы, не являющиеся симметричными по четности?

Зачем нам нужно квантование для колебаний решетки?

Можно ли нарушить закон сохранения импульса?

Топология и нарушение симметрии сверхпроводника

kkk-интервал для первой зоны Бриллюэна

Обозначения для точек высокой симметрии в 1-й зоне Бриллюэна

Форма тензоров 3-го порядка в точечных группах Oh,O,TdOh,O,TdO_h, O, T_d и D3D3D_3