Точечные группы решетки Браве

Я пытаюсь описать группы точек решетки Браве как перестановки точек решетки. При этом я сталкиваюсь с проблемой: я могу найти описания точечных групп решетки Браве только в терминах кристаллических систем. Однако решетки Браве могут принадлежать к одному семейству кристаллов и иметь «одинаковую» точечную группу, но иметь разные группы перестановок для своих точек решетки.

Чтобы прояснить это, мы можем взять пример в 2d. Как объясняется на этой странице Википедии , как прямоугольная, так и центрированная прямоугольная решетки являются частью одного семейства кристаллов и могут рассматриваться как имеющие одну и ту же точечную группу.$D_2$. Однако при применении преобразования симметрии точки не переставляются одинаково для обеих решеток.

Другой способ убедиться в этом — рассмотреть примитивную элементарную ячейку для каждой решетки и посмотреть на ее симметрию. Элементарная прямоугольная ячейка имеет элементы симметрии: идентичность, поворот на 180, горизонтальное отражение, вертикальное отражение.

Для ромбоэдрической элементарной ячейки элементами симметрии являются: тождество, поворот на 180°, отражение относительно обеих диагоналей.

Ясно, что в обоих случаях применение элемента симметрии даст вам разные перестановки точек решетки, и это то, что меня интересует. Мы можем рассматривать их как разные группы, операции разные, и они являются разными подгруппами квадрата.

Но поскольку они изоморфны и могут быть отображены друг на друга, выбрав центрированную прямоугольную элементарную ячейку вместо прямоугольной, они оба помечены как$D_2$в Википедии и любом другом источнике, который я мог найти.

Мой вопрос : существует ли классификация групп точек решетки Браве в 3D, которая действительно объясняет эти различия? В качестве альтернативы, есть ли описание формы всех примитивных ячеек (в котором не используются базовые, телесные или гранецентрированные элементарные ячейки)? При этом я мог бы найти эти группы самостоятельно, глядя на симметрию каждой формы, хотя это было бы утомительно.