Теорема Блоха для решетки с подрешетками

Теорема Блоха утверждает следующее: пусть у нас есть гамильтониан

ЧАС "=" п 2 2 м + В ( Икс )

где В ( Икс + а ) "=" В ( Икс ) , то волновые функции принимают вид ψ к ( Икс ) "=" е я к Икс ты к ( Икс ) и ты к ( Икс + а ) "=" ты к ( Икс ) .

Если у нас есть решетка с подрешетками, например графен с двумя подрешетками А и Б , то я прочитал здесь в уравнении. (2) и здесь в уравнении. (2.5) что, поскольку перенос между двумя подрешетками не является симметрией гамильтониана, мы должны записать блоховские волновые функции как

ψ к ( Икс ) "=" ψ к А ( Икс ) + ψ к Б ( Икс )

где ψ к А и ψ к Б — блоховские волновые функции для каждой подрешетки. Я не понимаю, почему это так. Я ожидаю, что для графена гамильтониан можно записать как

ЧАС "=" п 2 2 м + В А ( Икс ) + В Б ( Икс )

где В А ( Икс ) и В Б ( Икс ) — периодические потенциалы каждой подрешетки. Однако, поскольку каждая подрешетка имеет одинаковую периодичность, я мог бы просто написать В ( Икс ) "=" В А ( Икс ) + В Б ( Икс ) и просто примените теорему Блоха, как указано выше, с единственным решением ψ к ( Икс ) . Откуда мне знать, что я могу разбить волновую функцию на блоховские функции отдельных подрешеток? Как теорема Блоха «видит» подрешетки?

Я мог бы перефразировать свой вопрос с точки зрения теории групп. Гильбертово пространство ЧАС теории формирует представление дискретных переводов Т "=" { Т ( а ) : а е Λ } , где Λ является решеткой Браве. Если бы я добавил два атома в элементарную ячейку, например, в графене, решетка Браве не изменилась, то есть периодичность решетки не изменилась, поэтому группа симметрии решетки по-прежнему Т , однако приведенные выше результаты подразумевают, что пространство представления разделилось как ЧАС "=" ЧАС А ⊕ ЧАС Б , где ЧАС А / Б не соответствуют Т для каждой подрешетки. Как мне это показать? Откуда теорема Блоха знает о подрешетках?

Ответы (1)

На самом деле нет никакого противоречия между тем, что вы говорите, и тем, что говорится в двух связанных документах. На самом деле, эти два документа описывают решение волнового уравнения в виде решения с сильной связью , которое действительно является блоховской волновой функцией, но построено как сумма волновых функций с членами, центрированными в двух подрешетках.

Напомним, что идея модели сильной связи заключается в построении блоховских волновых функций как суперпозиции атомных орбиталей, связанных с атомами кристаллической решетки. Поскольку решетка графена представляет собой решетку с двухатомной основой, решение учитывает суперпозицию атомных орбиталей каждого из двух атомов. Об этом см. также Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела , глава 10, раздел Общие замечания по методу жесткой связи, замечание 4.

В качестве дополнительного замечания, разложение ψ в ψ А + ψ Б можно считать произвольным, поскольку ψ А и ψ Б в общем случае даже не ортогональны, так что каждый термин можно переопределить по своему усмотрению (скажем, ψ А ′ ( Икс ) "=" ψ А ( Икс ) + ϵ ( Икс ) и ψ Б ′ ( Икс ) "=" ψ Б ( Икс ) − ϵ ( Икс ) ).
Применим ли этот аргумент, если вместо этого мы выберем базис Ванье? Базис Ванье иногда используется для моделей сильной связи вместо атомных орбиталей, поскольку он образует ортонормированный базис. Состояния Ванье представляют собой преобразование Фурье блоховских состояний, и для каждого вектора решетки Браве существует ровно одно состояние Ванье. По этой причине в графене было бы вдвое меньше состояний Ванье, чем атомных узлов (поскольку каждый узел решетки Браве содержит два атомных узла на элементарную ячейку), поэтому не можем ли мы использовать состояния Ванье в качестве основы для модели сильной связи?
@Hermitian_hermit В зависимости от того, как вы разлагаете волновые функции Блоха, вы можете построить функции Ванье с центром на обоих атомах основы. Или вы можете рассматривать двухатомный базис как молекулу и строить функции Ванье из решетки молекул. В любом случае напомним, что суть метода сильной связи состоит в том, чтобы построить приближенное решение уравнения Шредингера, а обычно пытаются, хотя бы в первом приближении, построить простое решение.
В любом случае, насколько я знаю, если вы хотите использовать функции Ванье с методом сильной связи, вы уже должны были найти решение уравнения Шрёдингера другим методом. Таким образом, это становится более сложным.
Теорема Блоха для решетки с подрешетками
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v