Одна частица со спином 1/2 в поле B в трехмерном гармоническом потенциале (Часть III)

Question

Одна частица со спином 1/2 в поле B в трехмерном гармоническом потенциале (Часть III)

Лео Л.

Рассмотрим частицу со спином 1/2 в магнитном поле (скажем, в направлении z) и в гармоническом потенциале. Для компонента трехмерного гармонического осциллятора гамильтониан $H_1= \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega ^2r^2.$ Для спиновой компоненты гамильтониан $H_2=-\gamma B_z S_z$ , где $\gamma$ - гироскопическое отношение.

Вопросы:

Можно ли представить собственное состояние системы как тензорное произведение собственных состояний каждого из двух гамильтонианов? т.е. является собственным состоянием $\left|n_x,n_y,n_z\right>\otimes \left|1/2,m_s\right>$ , где $\left|n_x,n_y,n_z\right>$ является собственным состоянием $H_1$ , и $\left|1/2,m_s\right>$ является собственным состоянием $H_2$ ? Является явной формой состояния, например, $\left|0,0,0\right>\otimes \left|1/2,+1/2\right>=(\frac{m\omega}{\pi\hbar})^{1/4}exp(-\frac{m\omega}{2\hbar} r^2)\otimes \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ ?
Если ответ на 2 да, являются ли государства $\left|0,0,0\right>\otimes \left|1/2,+1/2\right>$ и $\left|0,0,0\right>\otimes \left|1/2,-1/2\right>$ ортогональный? Я предполагаю, что внутренний продукт двух тензорных состояний является внутренним продуктом каждого из компонентов, и поскольку для второго компонента $\left<1/2,+1/2\middle| 1/2,-1/2\right>=0$ , два тензорных состояния должны быть ортогональны?

Я пытался ответить на последний вопрос, но другие рассуждения (некоторые из них могут быть слишком наивными), кажется, дают противоречивые ответы, поэтому я хочу проверить, верны ли приведенные выше рассуждения.

Ответы (2)

Одна частица со спином 1/2 в поле B в трехмерном гармоническом потенциале (Часть III)

QuantumEyedea · Answer 1

Ваш общий гамильтониан для этой системы на самом деле

ЧАС "=" {ЧАС}_{1} \otimes я + я \otimes {ЧАС}_{2}

$H = H_{1} \otimes \mathbb{I} + \mathcal{I} \otimes H_2$ где ваше общее гильбертово пространство

L_{2} (R_{3}) \otimes C^{2}

$L_{2}(\mathbb{R}_{3}) \otimes \mathbb{C}^2$ , и

I

$\mathcal{I}$ личность на

L_{2} (R_{3})

$L_{2}(\mathbb{R}_{3})$ , пока

I

$\mathbb{I}$ личность на

C^{2}

$\mathbb{C}^2$ .

Позволять $|\mathbf{n} \rangle \in L_{2}(\mathbb{R}_{3})$ быть собственными состояниями $H_1$ такой, что

{ЧАС}_{1} | н ⟩ "=" Е_{н}^{(1)} | н ⟩

$H_1 |\mathbf{n} \rangle = E^{(1)}_{\mathbf{n}} |\mathbf{n} \rangle$ и

| s ⟩ \in C^{2}

$| s \rangle \in \mathbb{C}^2$ быть собственными состояниями

H_{2}

$H_2$ такой, что

{ЧАС}_{2} | с ⟩ "=" Е_{с}^{(2)} | с ⟩ .

$H_2 | s \rangle = E^{(2)}_{s} | s \rangle \ .$

Это факт, что $|\mathbf{n} ; s \rangle : = |\mathbf{n} \rangle \otimes | s \rangle$ являются собственными состояниями полного гамильтониана $H$ . Вы можете вычислить собственные значения, соответствующие такому состоянию, используя правила работы тензорных произведений (см. Тензорное произведение линейных карт ):

\begin{aligned} ЧАС | н; с ⟩ & "=" ({ЧАС}_{1} \otimes я + я \otimes {ЧАС}_{2}) (| н ⟩ \otimes | с ⟩) \\ "=" ({ЧАС}_{1} | н ⟩) \otimes (я | с ⟩) + (я | н ⟩) \otimes ({ЧАС}_{2} | с ⟩) \\ "=" (Е_{н}^{(1)} | н ⟩) \otimes (| с ⟩) + (| н ⟩) \otimes (Е_{с}^{(2)} | с ⟩) \\ "=" Е_{н}^{(1)} (| н ⟩ \otimes | с ⟩) + Е_{с}^{(2)} (| н ⟩ \otimes | с ⟩) \\ "=" (Е_{н}^{(1)} + Е_{с}^{(2)}) | н; с ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} H |\mathbf{n} ; s \rangle & = \big( H_{1} \otimes \mathbb{I} + \mathcal{I} \otimes H_2 \big) \big( |\mathbf{n} \rangle \otimes | s \rangle \big) \\ & = \big( H_1 |\mathbf{n} \rangle \big) \otimes \big( \mathbb{I} | s \rangle \big) + \big( \mathcal{I} |\mathbf{n} \rangle \big) \otimes \big( H_2 | s \rangle \big) \\ & = \big( E_{\mathbf{n}}^{(1)} |\mathbf{n} \rangle \big) \otimes \big( | s \rangle \big) + \big( |\mathbf{n} \rangle \big) \otimes \big( E_{s}^{(2)} | s \rangle \big) \\ & = E_{\mathbf{n}}^{(1)} \big( |\mathbf{n} \rangle \otimes | s \rangle \big) + E_{s}^{(2)} \big( |\mathbf{n} \rangle \otimes | s \rangle \big) \\ & = \big( E_{\mathbf{n}}^{(1)} + E_{s}^{(2)} \big) |\mathbf{n} ; s \rangle \end{align}$ поэтому собственные значения

E_{n}^{(1)} + E_{s}^{(2)}

$E_{\mathbf{n}}^{(1)} + E_{s}^{(2)}$ .

Эти состояния заведомо ортогональны. Для двух состояний $|\mathbf{n} ; s \rangle$ и $|\mathbf{m} ; r \rangle$ , вы можете вычислить их внутренний продукт как

⟨ н; с | м; р ⟩ "=" {дельта}_{н_{Икс}, м_{Икс}} {дельта}_{н_{у}, м_{у}} {дельта}_{н_{г}, м_{г}} {дельта}_{с, р}

$\langle \mathbf{n} ; s | \mathbf{m} ; r \rangle = \delta_{n_x, m_{x}} \delta_{n_y, m_{y}} \delta_{n_z, m_{z}} \delta_{s,r}$ который равен нулю, если какие-либо из меток в состояниях различны.

ЭрикШок · Answer 2

У вас есть $[H_1, H_2] = 0$ , так что да, можно диагонализировать $H = H_1 + H_2$ используя одновременные собственные наборы $H_1$ и $H_2$ . И на второй вопрос снова да, два состояния действительно ортогональны. Вы можете использовать рассуждение о том, что если один отдельный компонент ортогонален, то все состояние должно быть ортогональным или, поскольку два набора тензорных произведений помечены разными индексами, они представляют разные собственные наборы и из-за того, что $H$ является эрмитовым, его собственные множества ортогональны друг другу.

Одна частица со спином 1/2 в поле B в трехмерном гармоническом потенциале (Часть III)

Лео Л.

Ответы (2)

QuantumEyedea

ЭрикШок

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Ожидаемое значение позиции гармонического осциллятора

Частицы Spin-1212\frac{1}{2} в химии

Почему магнитный момент электрона всегда параллелен спину электрона?

Электрон во внешнем магнитном поле

Почему двухэлектронные системы обычно описывают в синглет-триплетном базисе?

Вопрос о спин-орбитальном взаимодействии

Почему квантование Бора-Зоммерфельда дает точные уровни энергии для гармонического осциллятора?

Каково преобладающее мнение в научном сообществе об описании спина Гансом Ч. Оганяном?

Параллельные/антипараллельные спины двух неспаренных электронов