Однопетлевой эффективный потенциал Стандартной модели

Вы правы, замечая, что эффективный потенциал является комплексным при определенных значениях фонового поля. Это несколько болезненный вопрос. В принципе, при выводе эффективного потенциала его записывают как преобразование Лежандра производящего функционала связных диаграмм$W[J]$. При этом предполагается, что эффективный потенциал выпукл по переменной$\phi$. Когда на классическом уровне присутствует спонтанное нарушение симметрии, это, очевидно, неверно, о чем свидетельствует отрицательная кривизна в начале поля пространства. Принято считать, что весь наш вывод не превращается в бессмыслицу. Вместо этого, когда масса, зависящая от поля, становится отрицательной, тогда соответствующее значение поля не представляет стабильное состояние. Об этом сигнализирует эффективный потенциал, приобретая ненулевую мнимую часть, играющую роль скорости распада этого состояния. Однако см. [Точные расчеты скорости затухания в квантовой теории поля], чтобы узнать, как правильно рассчитать фактическую физическую скорость затухания.

Ваше второе наблюдение, что логарифм расходится как$\phi \rightarrow v$правильно, но и не о чем беспокоиться. Это потому, что предмножитель логарифма,$\left(m_G^2\right)^2$, также стремится к нулю в этом пределе (быстрее, чем расходится логарифм).

В более общем плане нет ничего непоследовательного в оценке эффективного потенциала для значений общего поля. Однако эффективный потенциал, вообще говоря, не является физической величиной. Только при оценке в экстремумах.

Я рекомендую [Последовательное использование эффективных потенциалов] для более глубокого изучения эффективного потенциала и способов получения из него физических величин.

Предположим, вы работаете со Стандартной моделью (СМ), так что поле Хиггса соответствует$SU(2)\times U_Y(1)$дублет. Вычисление потенциала Коулмана-Вайнберга действительно приводит к вкладу, подобному тому, что вы написали, давайте сначала исправим это:

$$V_{eff} \sim \phi_c^4 \ln\left(\frac{\phi_c^2}{\mu}\right)$$

Кроме того, вы, кажется, смешиваете тот факт, что для получения такого выражения в основном необходимо использовать расширение интеграла по путям вокруг$\langle\phi_c\rangle$, который не является общим значением;$\langle\phi_c\rangle$должна быть критической точкой потенциала древовидного уровня для применения вывода. (см. [Механизм Коулмана-Вайнберга] ), и это тот, который появляется в ваших массовых исправлениях; это определяется теорией и ее связями.

В случае SSB в случае SM$\sqrt{2}\langle\phi_c\rangle = v \approx 200$ГэВ, и технически именно это ожидаемое значение должно появиться в ваших поправках, как сказано выше. Как показано в книге Шварца «Квантовая теория поля и стандартная модель», раздел 34.2.3, получается:

$$V_{eff}(h) = \frac{\lambda}{4}h^4 + \left(\frac{9}{64\pi^2}\lambda^2 - \frac{3}{64\pi^2}Y^4_t\right)\phi^4\ln\frac{h^2}{v^2}$$ где $Y_t$является связью Юкавы топ-кварка для потенциала Коулмана-Вайнберга для бозона Хиггса (фактически только наиболее важный вклад). Там вы можете увидеть, что я имел в виду ранее.

С другой стороны, для больших значений поля вам действительно нужно быть более осторожным и суммировать эти большие логарифмы отдельно. (см. раздел 34.2.2 Шварца). С другой стороны, небольшие числа не представляют угрозы, поскольку у вас есть сила на четвертом перед бревном.

Альтернативным аргументом для вас, чтобы успокоить свою душу по этому вопросу, является рассмотрение унитарной калибровки, в которой вы можете избавиться от голдстоуновских бозонов, что сделает ваши беспокойства тщетными, при этом помня о том, что физические величины должны быть независимыми от калибровки. В целом верно, что эффективные теории имеют режим достоверности, и не следует ожидать, что они будут справедливы для совершенно произвольных значений, в нашем случае это, скорее всего, будет электрослабая шкала,$v$.