Представление счетной матрицы

Ответ Любоша Мотля имеет морально правильную физику, хотя может быть поучительно сделать иллюстрацию с точки зрения базовой математики вводной квантовой механики. В качестве примера возьмем бесспиновую частицу в одном измерении.

Собственные состояния положения в представлении позиционного пространства формально позволяют построить любую функцию:

$$f(x) = \int c_{x'} \delta(x-x')\,\mathrm{d}x'\text{,}$$ и у вас есть неисчислимая свобода в указании бесчисленного множества коэффициентов $c_{x'}$. Однако большая часть этой свободы иллюзорна, поскольку $L^2$внутренний продукт $$\langle f|g\rangle = \int f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x$$ не может различить функции, разность которых равна нулю в квадрате нормы: $$||f-g||^2 = \langle f-g|f-g\rangle = 0\text{.}$$ Подходят любые две функции, различающиеся только на конечном или счетном множестве, но это также возможно даже для функций, различающихся на несчетном множестве, — если это множество имеет нулевую меру.

Используя неравенство Коши-Шварца, нетрудно доказать, что для такой пары функций при любом$h\in L^2$,$\langle f-g|h\rangle = 0$. Другими словами, такое различие не может иметь никакого физического значения , поскольку оба они будут предсказывать абсолютно одинаковые вероятности в любой ситуации, мыслимой в квантовой механике.

Если настаивать на математике, мы урезаем пространство функций до пространства классов эквивалентности функций. В общем, нам нужны только «достаточно гладкие» функции, но на самом деле достаточно простой непрерывности (с не более чем счетным числом исключений): непрерывная функция определяется своими значениями на рациональных числах или на любом другом счетном множестве, плотном в вещественных числах.

Однако есть еще одна математическая причина, по которой мы не должны ожидать противоречия: в сущности, «непрерывный базис», сделанный Дираком, — это зверь, отличный от счетного «базиса Шаудера», который строит векторы как ряды. , и оба они отличаются от «базиса Гамеля», который сначала изучается в классе линейной алгебры, который строит векторы из конечного числа элементов базиса. Нет никакой проблемы в том, что они имеют разную мощность как таковую, потому что это очень разные вещи.

В частности, квантовая механика требует, чтобы комплексное гильбертово пространство было сепарабельным , что означает наличие счетного ортонормированного базиса Шаудера для бесконечномерного пространства. Именно это имеет в виду г-н Мотл, когда говорит, что «все бесконечномерные пространства изоморфны друг другу», потому что мы можем просто сделать изометрический изоморфизм, просто переназначив векторы в их соответствующих базах.

В этом он физически совершенно прав, хотя в математике существуют комплексные гильбертовы пространства, которые не являются сепарабельными.

---

Значит, эти операторы имеют несчетное число собственных функций, попадающих в счетное число классов эквивалентности?

Ну... не совсем. Скажем, вы берете операторы позиции и импульса. В позиционно-пространственном представлении они выглядят как$\delta(x-a)$и$e^{ipx}$. В последнем явно есть что-то математически странное в контексте нашего гильбертова пространства, хотя физически это просто обычная плоская волна — она не нормализуема и, следовательно, не может быть частью собственно гильбертова пространства. Хотя использование их в качестве основы — это просто применение преобразования Фурье, поэтому его использование должно иметь смысл. Что касается первого, поскольку вас беспокоят формальные математические вопросы, вы должны верить математикам, когда они говорят вам, что дельта Дирака, строго говоря, даже не является функцией.

Однако я хочу подчеркнуть, что это совершенно хорошие собственные состояния и что их использование имеет смысл. Нам просто нужно быть более математически точными, если мы хотим распутать формальные математические вопросы, такие как количество элементов.

Итак, давайте заглянем в кроличью нору функционального анализа. (n-анти-)линейный функционал — это (n-анти-)линейное отображение векторов в гильбертовом пространстве в его поле, в данном случае комплексные числа. Тривиальный пример: выберите фиксированный$v\in\mathcal{H}$. Затем карта$w\mapsto\langle w|v\rangle$является антилинейным функционалом, а отображение$w\mapsto\langle v|w\rangle$является линейным функционалом. Другой тривиальный пример$\delta[f] = f(0)$, которая, очевидно, линейна ($\delta[\alpha f+\beta g] = \alpha\delta[f]+\beta\delta[g]$) и дает скаляр.

Таким образом, все векторы в гильбертовом пространстве порождают (анти)линейные функционалы. Обратное верно лишь частично: все непрерывные (анти) линейные функционалы соответствуют векторам по теореме Рисса о представлении. Итак, если мы хотим быть формальными, бра — это линейные функционалы над нашим гильбертовым пространством, а кеты — антилинейные функционалы, и только некоторые из них фактически соответствуют вектору в гильбертовом пространстве. Это рассматривается как часть формализма «оснащенного гильбертова пространства», о котором я упоминал в комментариях.

Следовательно, нет никакой математической проблемы в том, чтобы иметь несчетный непрерывный базис и одновременно иметь счетный базис Шаудера. Они служат одной и той же физической цели, но математически это просто разные вещи: базис Шаудера «живет» непосредственно в гильбертовом пространстве, а непрерывный базис «живет» в алгебраическом дуальном пространстве нашего гильбертова пространства — это базис состояний, которые не обязательно должны быть векторами, а просто функционалами.

Счетная и несчетная бесконечности являются «разными кардиналами» согласно теории множеств, но в физике базы такого размера порождают одинаково большие гильбертовы пространства: гильбертово пространство бесконечномерно, и все бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны друг другу ( другими словами, когда речь идет о размерности гильбертова пространства, существует только «единая бесконечность». Квантовая механика предлагает бесконечно много примеров.

Возможно, самым простым примером являются разложения Фурье. Рассмотрим частицу в бесконечной яме, так что волновая функция$\psi(x)$отличен от нуля только для$0\lt x \lt +\pi$. Оператор$x$имеет непрерывный спектр, т. е. несчетное число собственных значений и собственных состояний (основа$x$-собственные состояния несчетны).

С другой стороны, оператор$p^2 = -\hbar^2 \partial^2 / \partial x^2$имеет дискретный спектр и счетное множество собственных значений и собственных состояний. Собственные состояния представляют собой стоячие волны$\sin (nx)$для положительного целого числа$n$а собственные значения$n^2$.

Тем не менее каждый ("достаточно гладкий" и/или$L^2$-нормируемая и т.д.) функция$\psi(x)$который не равен нулю в этом интервале - любая комбинация несчетного множества волновых функций$\psi(x) = \delta(x-x_0)$– также может быть записана как линейная комбинация стоячих волн,$\sin(nx)$. Именно этот факт делает возможным ряд Фурье. (Обычно я бы говорил о периодических функциях и сложных экспонентах, но синусы в колодце могут быть более удобными для начинающих.)

На самом деле нет никакого противоречия в разной мощности множеств, потому что два множества, несчетная основа множества$x$собственные состояния и счетный базис$p^2$собственные состояния не идентифицируются с помощью взаимно однозначной карты. Вместо этого отображение между одним базисом и другим является общим линейным преобразованием, которое смешивает их, и разная мощность не накладывает ограничений на такие линейные преобразования бесконечномерных векторных пространств.

В целом количественные числа (наука о различении многих типов), а также большинство других связанных с ними результатов в теории множеств (я имею в виду особенно теоремы Гёделя) совершенно несущественны в физике. Это всего лишь некоторые «развлекательные тонкости» математической логики, и физика не находит ни одной из этих операций уместной. Таким образом, физик может разработать современную теорию струн и интерпретировать ее во всех областях физики, даже не «зная», что действительные числа неисчислимы. Несчетность нефизична. Физик, как правило, агностичен в отношении существования действительных чисел, которые невозможно построить, в отношении справедливости аксиомы выбора и других проблем, которые не могут быть оперативно решены с помощью эксперимента. Типичная реакция физика состоит в том, что эти вопросы

Этот вопрос в некоторой степени связан с исследованиями, которые я проводил, поэтому я подумал, что вставлю свои пять копеек.

Когда вы строите матричное представление оператора Гамильтона, вы должны выбрать базис. Обычно это счетный базис, элементы которого интегрируемы с квадратом. Что вам нужно понять, так это то, что когда вы сделали это, вы ограничили эффективность данного матричного представления.

В качестве конкретного примера вы можете подумать о том, что происходит, когда вы используете решения одномерного гармонического осциллятора в качестве основы (например, полиномы Эрмита, умноженные на гауссиан). Тогда ваши базовые функции будут иметь форму,

$$f_n(\xi) = H_n(\xi) e^{-\xi^2/2}.$$

Теперь вы можете построить матричные элементы для данного гамильтониана обычным способом,

$$H_{n,m}=\langle{f_n \mid Hf_m}\rangle,$$

но эти матричные элементы кодируют только то, что гамильтониан будет делать с функциями, которые могут быть представлены выбранным вами базисом. В нашем конкретном случае диапазон наших базисных функций содержит только функции, интегрируемые с квадратом. Это означает, что мы не можем использовать эти конкретные матричные элементы, чтобы понять, как гамильтониан определяет динамику состояний свободных частиц (по крайней мере, без каких-либо дальнейших модификаций).

Собственные значения, которые вы получаете из таких матричных представлений, будут только энергиями для связанных состояний. Если вы попытаетесь диагонализовать матрицу кинетической энергии в этом базисе, вы получите мусор. Часто численные методы, основанные на таком подходе, имеют проблемы вблизи границы континуальных состояний и дискретных состояний.