Оператор импульса в приближении эффективной массы

Если я правильно понимаю ваш вопрос, то ответ заключается в том, что вы на самом деле не можете обосновать связь ваших уравнений по квантованному направлению. Фактически, «полосы» в направлении, перпендикулярном вашей плите, будут совершенно плоскими, что соответствует бесконечной эффективной массе в этом направлении. (Бесконечность исходит из предположения, что электроны ограничены, так что никакая энергия/сила, перпендикулярная плите, не будет генерировать движение/импульс в этом направлении.)

Тогда вы можете быть обеспокоены тем, что$m^*$бесконечность разрушит другие вещи, но если вы подробно разработаете вывод эффективной массы, вы на самом деле увидите, что эффективная масса на самом деле является тензором :

$$M_{ij} = \left[ \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E(\vec{k})}{\partial k_i \partial k_j} \right]^{-1}$$ где $i,j = x,y$, или $z$, что означает, что масса может быть (и часто бывает) очень разной в разных направлениях. Вам повезло, что вы работаете в высокосимметричной геометрии, где ваши ограниченные и неограниченные направления перпендикулярны и не связаны. Это означает, что вы можете взять $m^*$для обозначения плоскостной эффективной массы, возникающей из двумерной зонной структуры (которая сама зависит от кристаллической структуры и т. д.), и рассматривать внеплоскостное направление как «голое» ( т.е. $m^*=m_e$) электрон в любой имеющейся у вас одномерной ограничивающей структуре квантовой ямы.