Плотность состояний в газе НЕсвободных электронов

Думаю, я понимаю, как работает плотность состояний для свободного электронного газа. По сути, это просто коэффициент преобразования между суммированием значений k и интегрированием значений E. Если хотите, вы можете рассматривать его как плотность точек вдоль оси k дискретного графика электронной дисперсии.

Оттуда вы можете вычислить большинство термодинамических величин, таких как внутренняя энергия и теплоемкость, а также их зависимости от температуры.

Однако, как только мы выходим за рамки простой модели, я действительно не знаю, что делать. (т.е. мы можем рассчитать дисперсию в модели Кронига-Пенни. Полезно ли для этого пересчитать плотность состояний? Будет ли она даже выглядеть иначе, чем плотность состояний свободного электронного газа, учитывая, что потенциал не имеет k-зависимости Получаем ли мы какое-либо физическое представление, вычисляя плотность состояний, когда у нас есть зонная теория — помимо того, что более высокие полосы имеют больше состояний в 3D, такое же количество состояний в 2D и меньше состояний в 1D — предполагая, что газ свободных электронов плотность состояний сохраняется?)

Спасибо!

Ответы (1)

Это все довольно стандартные вещи, которые вы можете найти в других местах на этом сайте, но они не всегда четко представлены, и мне хочется поработать над ними еще раз:

Интуитивно все, что изменяет дисперсионное соотношение Е ( п → ) также изменяет плотность состояний. Это просто потому, что мы обычно маркируем состояния по их импульсу и предполагаем, что для каждого импульса есть два состояния (спин вверх и спин вниз). Это означает, что для непрерывного п :

н "=" 2 ∫ г Д п

который является интегралом в Д размеры.

Таким образом, все, что изменяет количество импульсов при данной энергии, повлияет на это следующим образом:

Д О С "=" ∂ н ∂ Е "=" 2 ∂ ∂ Е [ ∫ г Д п ]

Вы можете записать интеграл в сферических координатах в p-пространстве:

г Д п "=" А Д п Д − 1 г п , так

Д О С "=" ∂ ∂ Е [ 2 А Д ∫ п Д − 1 г п ]

А Д является константой (это площадь поверхности Д -мерная сфера с радиусом 1). Теперь вы используете обратное соотношение дисперсии п ( Е ) сделать замену:

г п "=" ( г п ( Е ) г Е ) г Е

Д О С ( Е ) "=" ∂ ∂ Е [ 2 А Д ∫ 0 Е п ( Е ′ ) Д − 1 ( г п ( Е ′ ) г Е ′ ) г Е ′ ] "=" 2 А Д п ( Е ) Д − 1 ( г п ( Е ) г Е )

Так что дисперсия, в перевернутом виде, тут как тут. Все, что вы на самом деле сделали, — это замена переменных, но то, как эти переменные изменяются, зависит от дисперсии. Эта точная процедура возможна только в том случае, если E является функцией величины p. Если это не так, как в многомерной ленточной структуре, вам нужно выполнить интегрирование по компонентам п индивидуально, но это не меняет ситуацию.

В качестве примера давайте перейдем к D=1 и сравним свободную частицу и зонную структуру. Свободная частица имеет Е ( п ) "=" п 2 / 2 , а ленточная структура имеет форму жесткой связи Е ( п ) "=" 1 − потому что ⁡ ( π п ) , где п теперь на самом деле квазиимпульсы, которые ограничены между 0 и 1, что означает Е ограничено от 0 до 2.

За бесплатную частицу вы получаете

Д О С "=" ∂ ∂ Е [ 2 А 1 ∫ 0 Е п ( Е ′ ) 1 − 1 ( г п ( Е ′ ) г Е ′ ) г Е ′ ]

"=" ∂ ∂ Е [ 2 ∫ 0 Е ( Е ′ ) − 1 г Е ′ ]

"=" 2 ( Е ) − 1

Для ленточной структуры это:

Д О С "=" ∂ ∂ Е [ 2 ∫ 0 Е 1 π 1 − ( 1 − Е ′ ) 2 г Е ′ ] "=" 2 π ( 1 1 − ( 1 − Е ) 2 )

Как видите, эти два выражения явно не совпадают. В частности, оба уходят в бесконечность при Е "=" 0 , но выражение структуры полосы также работает в верхней части полосы, Е "=" 2 . Это сингулярность Ван Хова , и она важна для определения различных свойств материала зонной структуры.

Дисперсия Кронига-Пенни выглядела бы более сложной и имела бы более высокие полосы, но в самой нижней полосе она была бы качественно аналогичной.

Это, возможно, менее актуально для моего вопроса и вашего ответа, но я также хочу это понять: для вашей модели жесткой привязки E находится между 0 и 2 только для первой полосы, верно? Было бы больше полос, каждая из которых просто сдвинута вверх на константу (т.е. запрещенную зону)? Или это не точно?
Самая простая модель с плотной вязкой имеет только одну резинку. Более реалистичная модель будет иметь более высокие полосы, но в целом размеры полос и промежутки между ними могут не совпадать. Для получения более подробной информации см. учебник по твердотельным устройствам, такой как Ashcroft and Mermin.
Плотность состояний в газе НЕсвободных электронов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v