Что на самом деле представляет собой волновой вектор в контексте фононов и колебаний решетки?

В кристаллической решетке звуковые волны поперечных и продольных колебаний решетки могут быть описаны экспоненциальными волновыми функциями$\vec {s}=\vec {s_0} exp{i(\omega t-\vec {k}\vec{r})}$точно так же, как звуковые волны в континуальной модели твердых тел. Смещения решетки$\vec {s}$конечно, ограничены атомами решетки. Подобное волновое решение можно найти, например, на линейных механических цепных моделях шариков, соединенных пружинами. Волновой вектор$\vec {k}$представляет собой длину волны$\lambda=\frac{2 \pi}{|\vec {k}|}$этих мод колебаний решетки. Импульс$\vec {p}$фононов, квантованных колебаний решетки, связано с волновым вектором соотношением$\vec {p}=\hbar\vec{k}$и энергия$E$к$E=\hbar \omega$. Волновые векторы$k$в направлении оси с постоянной решетки$a$можно считать ограниченным зоной Бриллюэна$[-\frac{\pi}{a},\frac{\pi}{a}]$потому что волновой вектор$k+\frac{2\pi}{a}$описывает те же смещения решетки, что и k. Поэтому из-за периодического дискретного положения атомов в решетке волновые векторы вне этой зоны можно считать эквивалентными волновому вектору в зоне Бриллюэна. Дисперсионные соотношения$\omega(\mathbf{k})$обычно имеют несколько ветвей для продольных и поперечных акустических волн. Их наклоны на низких частотах и ​​волновые векторы дают скорости звука акустических поперечных и продольных волн. Есть также ветви на более высоких частотах, которые соответствуют колебаниям, когда соседние атомы вибрируют друг против друга. Эти моды называются оптическими фононами, потому что в полярных кристаллах они приводят к поглощению инфракрасного света.

Примечание. В принципе можно возбудить колебания решетки на любой частоте.$\omega$и получить соответствующие$\vec {k}$из дисперсионных соотношений. (Если для данной частоты существуют решения дисперсионных соотношений.)

Возьмите любой кристалл и положите его на стол. Теперь ударьте его по одному концу. Звуковые волны будут распространяться от этого конца к остальной части кристалла.$\bf k$- волновой вектор этих звуковых волн. Его направление совпадает с направлением движения волновых фронтов; его размер$2\pi/\lambda$где$\lambda$это длина волны.

Частота связана с волновым числом для любого волнового движения. Например, для световых волн в вакууме$\omega = c k$; для волн на воде с небольшой скоростью$v$надо$\omega = v k$, а для более высоких скоростей формула усложняется. Суть в том, что волны разной длины волны обычно имеют и разную частоту.

Вам может показаться, что этот ответ слишком прост, но на самом деле это не так. Как вы сказали в своем вопросе, у вас есть атомы или молекулы на решетке, колеблющиеся вокруг своих положений равновесия. Это то, что у вас есть, и это все, что у вас есть. Причина сосредоточения внимания на волновом движении определенной частоты состоит в том, что это естественное движение, которое могут принять атомы, и которое удобно для анализа более сложных движений. Например, при малом количестве движений и слабой связи различные нормальные моды в первом приближении не связаны, и именно это делает их такими полезными. Они обеспечивают удобный анализ Фурье полного движения.

Главный вопрос, который я не упомянул, — это квантовая трактовка вибраций, но сначала нужно решить классическую задачу, чтобы понять, о чем говорит квантовая механика. Также для дискретной решетки, когда длина волны становится малой (поэтому волновое число велико), больше не обнаруживаются новые движения, а просто повторяются движения с большей длиной волны. Это приводит к понятию зон Бриллюэна.

Волновой вектор исходит из периодичности системы. Здесь трансляционная симметрия дискретизирована в единицах векторов решетки, например$a$. Собственные состояния колебаний решетки$u(R,t;k)$также являются собственными состояниями трансляционного оператора$T$, с трансляционным собственным значением, обозначаемым$\lambda = e^{ika}$,

$k$описывает пространственный профиль колебаний решетки. Частота$\omega$являются собственными значениями гамильтониана, управляющего динамикой системы, которая обычно зависит от пространственного профиля. Поэтому ожидается, что частота является функцией волнового вектора.