Зачем усложнять, чтобы построить представление Дирака?

Предположим, что у нас есть теория, ковариантная относительно спин-группы Spin (2n-1; 1). Мы рассматриваем вещественное векторное пространство В "=" р 2 н − 1 , 1 , что, естественно, сопровождается лоренцевым внутренним произведением. На этом векторном пространстве введем ортонормированный базис е 0 ; е 1 ; . . . ; е 2 н − 1 , где е 0 обозначает направление времени.

Для построения дираковского представления Spin (2n-1; 1) возьмем комплексифицированное пространство Т "=" С < е 1 ; . . . ; е н > . Мой вопрос: почему для построения представления Дирака мы комплексифицируем пространство?

ПРИМЕЧАНИЕ. Теория является четной и имеет лоренцевскую сигнатуру.

Что вы имеете в виду, "почему" ? Представление Дирака определяется таким образом (и по крайней мере одна из представляющих матриц будет иметь комплексные элементы, поэтому вы не можете просто ограничиться реальным подпространством)!
«почему» — это явно запрос мотивации. Он хочет понять, что получается, используя это представление. Почему это было предложено в первую очередь. Не трудно понять!
Тогда я не понимаю, что вы ищете. Это допустимое представление группы симметрии теории, довольно низкоразмерное и, следовательно, естественное для рассмотрения. Зачем нам нужна особая мотивация, чтобы смотреть на представления группы симметрии (в конце концов, нашим полям нужно что-то, во что они могут трансформироваться)?
Я думаю, может быть, вам это нужно только тогда, когда ваше пространство-время имеет измерение, кратное 4, но оно работает так же хорошо, когда это другие измерения.
@PhilosophicalPhysics Я не знаю, почему вы настаиваете на каком-либо представлении. У вас были некоторые преобразования, которые в некотором смысле были симметрией (вы, кажется, хотите использовать вещи, которые являются ковариантными, а не инвариантными, что похоже на использование координат вместо векторов из векторного пространства), и вы хотите представление в виде матриц, но опять же я не Не знаете, почему иметь матрицы лучше, чем реальные объекты?

Ответы (1)

Мы предполагаем, что ОП спрашивает помимо фактов, что:

  1. Представления Дирака по определению сложны;

  2. Гораздо проще работать с алгебраически замкнутым полем ;

  3. Любое реальное представление может быть расширено до (возможно, приводимого) сложного представления, так что, становясь комплексным, ничего не упускаешь.

Другими словами, ОП интересует, почему не могут существовать некоторые реальные представления групп Ли. Поскольку хорошо известно, что каждое представление группы Ли индуцирует соответствующее представление алгебры Ли , для нашей цели будет достаточно показать, что некоторые реальные представления алгебры Ли не могут существовать.

Поэтому нас интересует, существует ли 2 [ н 2 ] -размерный 1 реальное спинорное представление с о ( п , д ) , где н "=" п + д ≥ 2 ?

Низкое измерение , где это не удается, ( п , д ) "=" ( 3 , 0 ) , то есть трехмерные вращения, где мы оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что одномерное псевдовещественное/ кватернионное спинорное представление алгебры Ли с о ( 3 ) ≅ с ты ( 2 ) ≅ ты ( 1 , ЧАС ) не имеет вещественного двумерного неприводимого подпредставления.

ОП спрашивает только о четном измерении н с подписью Минковского. Аналогичным образом можно показать, что ( п , д ) "=" ( 5 , 1 ) не выполняется, т. е. прямая сумма двумерного левого и двумерного правого псевдовещественного/кватернионного спинорного представления Вейля алгебры Ли с о ( 5 , 1 ) ≅ с л ( 2 , ЧАС ) не имеет вещественного 8-мерного неприводимого подпредставления.

Между прочим, Виттен недавно обсуждал реальные, псевдореальные и комплексные представления фермионов в arXiv:1508.04715 .

--

1 Чтобы понять, где размер 2 [ н 2 ] исходит из, см., например, этот пост Phys.SE.

Зачем усложнять, чтобы построить представление Дирака?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v