Операции над формами со значениями алгебры Ли на главном расслоении

Question

Операции над формами со значениями алгебры Ли на главном расслоении

пианьон

Я пытаюсь понять некоторые теории Янга-Миллса и Черна-Саймонса, но меня сбивает с толку кое-какая математика.

Меня смущает внешняя ковариантная производная k-форм со значениями алгебры Ли на главном расслоении P . В частности, я понимаю вывод, сделанный в разделе 2.2.2 https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/GT/Lect2.pdf , но мне не удается обобщить k-формы (упражнение 2.5). того же раздела) и понять случай, когда V — алгебра Ли группы G , где клин заменен коммутатором.

Кроме того, по-видимому, существуют разные соглашения (?) для коэффициента перед вторым членом внешней ковариантной производной. Иногда я вижу коэффициент 1/2 (например, в разделе 3.2.2 https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/GT/Lect3.pdf ) и в других местах без него. Я полагаю, что мое понимание связано с коммутаторами и клиновыми произведениями форм со значениями алгебры Ли, но я могу ошибаться. Может ли кто-нибудь объяснить и, возможно, выявить мои недоразумения?

(Я посмотрел у Накахара, но его раздел о соединениях основного пакета не совсем ответил на мой вопрос.)

РЕДАКТИРОВАТЬ: я думаю, что мне удалось сузить мое замешательство. В первом наборе заметок (лекция 2) они выводят уравнение для внешней ковариантной производной формы связи (предложение 2.1), а также для внешней ковариантной производной векторнозначной формы (упражнение 2.5). Насколько я понимаю, результат предложения 2.1 должен быть частным случаем упражнения 2.5, где действие алгебры Ли является действием сопряжения (коммутатора), но в первом есть коэффициент 1/2. Может ли кто-нибудь объяснить мне этот момент?

Ответы (1)

Операции над формами со значениями алгебры Ли на главном расслоении

Шон Похоренс · Answer 1

Есть два разумных способа определения клинового произведения форм. Один должен сказать, что

α \land β (Икс, Д) "=" \frac{1}{2} (α (Икс) β (Д) - α (Д) β (Икс))

$\alpha\wedge\beta(X,Y) = \frac{1}{2}\left(\alpha(X)\beta(Y) - \alpha(Y)\beta(X)\right)$ в то время как другой не включает этот фактор

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

α \land β (Икс, Д) "=" α (Икс) β (Д) - α (Д) β (Икс) .

$\alpha\wedge\beta(X,Y) = \alpha(X)\beta(Y) - \alpha(Y)\beta(X).$ Здесь,

α

$\alpha$ и

β

$\beta$ являются 1-формами и

X

$X$ и

Y

$Y$ являются векторными полями. Похоже, что в этих примечаниях используется прежнее соглашение, когда "

\land

$\wedge$ " явно написано (так что

(р (ю) \land ю) (Икс, Д) "=" \frac{1}{2} ([ю (Икс), ю (Д)] - [ю (Д), ю (Икс)]) "=" [ю (Икс), ю (Д)]

$(\rho(\omega)\wedge\omega)(X,Y) = \frac{1}{2}\left([\omega(X),\omega(Y)] - [\omega(Y),\omega(X)]\right) = [\omega(X),\omega(Y)]$ в упражнении 2.5) при установке

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ вручную в обозначениях реквизита 2.1

\frac{1}{2} [ю, ю] (Икс, Д) "=" \frac{1}{2} ([ю (Икс), ю (Д)] - [ю (Д), ю (Икс)]) "=" [ю (Икс), ю (Д)] .

$\frac{1}{2}[\omega,\omega](X,Y) = \frac{1}{2}\left([\omega(X),\omega(Y)] - [\omega(Y),\omega(X)]\right) = [\omega(X),\omega(Y)].$ Одна из возможных причин этого соглашения заключается в том, что из-за антисимметрии как произведения клина, так и скобки Ли их комбинация на самом деле симметрична:

[α, β] "=" [β, α]

$[\alpha,\beta] = [\beta,\alpha]$ где

α

$\alpha$ и

β

$\beta$ обе формы со значениями алгебры Ли на

P

$P$ . Много раз, когда мы вставляем один и тот же аргумент в оба слота симметричной операции, подобной этой, удобно иметь множитель

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ по разным причинам. Возможно, это обозначение предназначено для того, чтобы подчеркнуть такое поведение операции «скобка и клин».

И последнее: не совсем верно, что 2.1 является частным случаем 2.5, поскольку ковариантная производная в том виде, в каком она определена, предназначена только для применения к основным формам (которые, в частности, являются горизонтальными), тогда как $\omega$ максимально далек от горизонтальности ( $h^*\omega = 0$ ). Рассматривая все как формы на $P$ , эти детали на самом деле не имеют значения, но если вы хотите связать основные формы с определенными формами на многообразии (см. 2.2.1), то два упомянутых вами уравнения — совершенно разные вещи. Для истории важно, что связь одна форма $\omega$ нельзя рассматривать как какую-либо глобальную форму на $M$ . Вместо этого он трансформируется, как и должно быть соединение (об этом говорится в лекции 1 из этой серии).

Большое спасибо за ваш ответ! Я не уверен в их соглашении о клиновидных продуктах, но ваш последний абзац помог мне прояснить ситуацию. Я не знал, что он предназначен для горизонтальных и инвариантных форм. Я увидел, что обратное преобразование формы соединения удовлетворяет свойству инвариантности, и поторопился с выводами. Я снова пройдусь по выводам, чтобы дважды проверить соглашение и опубликовать обновление, когда я это сделаю.

Операции над формами со значениями алгебры Ли на главном расслоении

пианьон

Ответы (1)

Шон Похоренс

пианьон

Происхождение интеграла от тензора напряженности поля в линейной экспоненте в калибровочной теории поля

Калибровочные поля и строки: уравнения цикла

Как физик воспринимает калибровочные поля

Напряженность поля обращается в нуль тогда и только тогда, когда AµAµA_{\mu} является чисто калибровочным

Свойство R4R4\mathbb{R}^4 иметь бесконечно много дифференциальных структур связано с полем Янга-Миллса?

Аксиомы Вайтмана и калибровочные симметрии

Диффеоморфизмы, изометрии и общая теория относительности

Определяет ли калибровочная группа GGG главное GGG-расслоение?

Гильбертово пространство Черна-Саймонса на торе, часть первая...

Звездный оператор Ходжа на кривизне?