Звездный оператор Ходжа на кривизне?

Question

Звездный оператор Ходжа на кривизне?

Охотник

У меня вопрос по звездному оператору Ходжа. Я совершенно новичок в понятии внешних производных и клиновых продуктов. Мне пришлось научить себя этому за последние пару дней, поэтому я надеюсь, что мой вопрос не тривиален.

Я нашел в Интернете следующие формулы, которые, кажется, соответствуют определениям двух книг (Кэрролл и Баез и Муньяин), которыми я владею. Для генерала $p$ - форма на $n$ -мерное многообразие:

в "=" \frac{1}{п!} в_{я_{1} \dots я_{п}} г {Икс}^{я_{1}} \land \dots \land г {Икс}^{я_{п}}

$\begin{equation} v=\frac{1}{p!} v_{i_1 \ldots i_p} \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \end{equation}$

оператор Ходжа действует на основе $p$ - форму следующим образом:

* (г {Икс}^{я_{1}} \land \dots \land г {Икс}^{я_{п}}) "=" \frac{1}{д!} {\tilde{ε}}_{{Дж}_{1}, \dots, {Дж}_{д}}^{я_{1}, \dots, я_{п}} г {Икс}^{{Дж}_{1}} \land \dots \land г {Икс}^{{Дж}_{д}}

$\begin{equation} *\left( \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right) = \frac{1}{q!} \tilde{ \varepsilon}_{j_1,\ldots,j_q}{}^{i_1,\ldots,i_p} \mathrm{d} x^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^{j_q} \end{equation}$

где $q=n-p$ и $\tilde{ \varepsilon}$ есть тензор Леви-Чивиты. Пока здесь все хорошо, мне удалось выполнить несколько упражнений и получить правильные ответы. Однако на самом деле попытка вычислить кривизну вызывает у меня некоторые проблемы.

Чтобы дать немного фона. Я работаю с кривизной в теории Янга-Миллса в сферических координатах. $(r, \theta, \varphi)$ . Используя калибровочное преобразование, я избавился от зависимости от времени, $r$ зависимость и $\theta$ зависимость. Следовательно, кривизна определяется выражением:

Ф "=" \partial_{θ} А_{ф} г θ \land г ф

$\begin{equation} F = \partial_\theta A_{ \varphi} \; \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d} \varphi \end{equation}$

Применение оператора Ходжа в соответствии с приведенной выше формулой дает:

* (г θ \land г ф) "=" \frac{1}{(3 - 2)!} {\tilde{ε}}^{θ ф}_{р} г р "=" г р

$\begin{equation} * \left(\mathrm{d} \theta \wedge \mathrm{d} \varphi\right) = \frac{1}{(3-2)!} \tilde \varepsilon^{\theta \varphi}{}_r ~\mathrm{d}r=\mathrm{d}r \end{equation}$

так что:

* Ф "=" (\partial_{θ} А_{ф}) г р

$\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \mathrm{d} r \end{equation}$

Однако три разных источника дают разные формулы. В частности, они дают:

* Ф "=" (\partial_{θ} А_{ф}) \frac{1}{р^{2} грех θ} г р

$\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \frac{1}{r^2 \sin \theta} \mathrm{d} r \end{equation}$

Мне непонятно, откуда они это берут. Кое-что упоминается о том, что естественная объемная форма $\sqrt{g} \; \mathrm{d} r \wedge \mathrm{d} \varphi \wedge \mathrm{d} \theta$ с $\sqrt{g}=r^2 \sin \theta$ , с чем я согласен. Однако я не понимаю, почему этот термин включен в оператор Ходжа.

Баез и Муньяин определяют оператор Ходжа как:

ю \land * мю "=" ⟨ ю, мю ⟩ в о л

$\begin{equation} \omega \wedge * \mu = \langle \omega , \mu \rangle \mathrm{vol} \end{equation}$

Но я не понимаю, как эта формула применима к вычислению оператора Ходжа на кривизне. Может ли кто-нибудь сказать мне, где я ошибаюсь, или предоставить мне источник, где они объясняют это?

Ответы (3)

Звездный оператор Ходжа на кривизне?

Qмеханик · Answer 1

Кажется, что решение вопроса ОП заключается в разнице между

символ Леви- Чивита $[\mu_1,\ldots,\mu_d]$ , который не является тензором (а скорее $(d,0)$ тензорная плотность ) и чьи значения только $0$ и $\pm 1$ ; и
тензор Леви- Чивиты $^1$
$ε^{{мю}_{1}, \dots, {мю}_{г}} "=" \pm \frac{[{мю}_{1}, \dots, {мю}_{г}]}{\sqrt{| г |}}, ε_{{мю}_{1}, \dots, {мю}_{г}} "=" \pm \sqrt{| г |} [{мю}_{1}, \dots, {мю}_{г}],$ $\varepsilon^{\mu_1,\ldots,\mu_d}~=~\pm \frac{[\mu_1,\ldots,\mu_d]}{\sqrt{|g|}} , \qquad \varepsilon_{\mu_1,\ldots,\mu_d}~=~\pm \sqrt{|g|}[\mu_1,\ldots,\mu_d] ,$ чьё определение отличается от символа Леви- Чивиты множителем $\sqrt{|g|}\equiv \sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|}$ .

--

$^1$ The $\pm$ включен, чтобы признать, что у разных авторов разные соглашения.

Тушар Гопалка · Answer 2

При работе в индексной нотации мы должны иметь в виду, что мы должны получить формулы, которые должным образом ковариантны при общих преобразованиях координат. Следовательно, мы должны использовать эти общие формулы при работе с индексной нотацией:

Вы можете видеть, как обратная метрика и определяющий фактор метрики совместно дают вам правильный коэффициент $\frac{1}{r^2 sin(\theta)}$ .

Рума Дутта · Answer 3

Оператор звезды Ходжа на векторном пространстве V — это линейный оператор на внешней алгебре V, отображающий k векторов в (nk) векторов с n = dim V . Итак, для двух k векторов a, b; а /\ *b = <a b> w. Таким образом, это выводит вектор k за пределы k dim векторного пространства k. Итак, в вашем векторном пространстве кривизны между тета и фи вы взяли внутренний продукт, а затем спроецировали его на внешнее пространство, умножив на соответствующий единичный вектор.

Звездный оператор Ходжа на кривизне?

Охотник

Ответы (3)

Qмеханик

Тушар Гопалка

Рума Дутта

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

В чем идея тензора кривизны Римана?

Разница между кривизной и скалярной кривизной Риччи?

Идентификация Бьянки с использованием нулевой тетрады

Каковы аналоги FμνFμνF_{\mu\nu} в общей теории относительности?

Происхождение интеграла от тензора напряженности поля в линейной экспоненте в калибровочной теории поля

Вывод тензора Вейля

Разница между ∂∂\partial и ∇∇\nabla в общей теории относительности

Операции над формами со значениями алгебры Ли на главном расслоении

Диффеоморфизмы, изометрии и общая теория относительности