Опережает ли ток напряжение при разряде в конденсаторах?

Разговоры о «опережающем напряжении тока» или «разнице фаз» относятся только к анализу переменного тока. В более общем случае можно сказать, что на самом деле конденсатор дифференцирует напряжение в соответствии с:

$$i = C\frac{dv}{dt}$$

Отсюда можно вывести все известные вещи о конденсаторах. Например, если вы хотите линейно изменяющееся напряжение на конденсаторе, вы должны применить к нему источник постоянного тока. В качестве примера рассмотрим источник тока на 1 ампер, подключенный к конденсатору на 1 фарад:

$$\require{cancel} \begin{align} 1A &= 1F \frac{dv}{dt} \\ 1A &= \frac{1 A \cdot s}{V} \frac{dv}{dt} \\ \frac{1\cancel{A}\cdot V}{1\cancel{A}\cdot s} &= \frac{dv}{dt} \\ \frac{1V}{s} &= \frac{dv}{dt} \end{align}$$

Если вы рассматриваете случай, когда приложенное напряжение является синусоидальным, то и ток тоже:

$$\begin{align} i &= C\frac{dv}{dt} \\ i &= C\frac{d\sin(t)}{dt} \\ i &= C\cos(t) \end{align}$$

потому что$\cos$является производной от$\sin$.

Вы также увидите, если вы начертите эти функции , что$\cos$(текущие) лиды$\sin$(напряжение) на 90 градусов, как сказал бы инженер-электрик:

Вы можете реально говорить о фазовых углах только при подаче синусоидальных волн, и если вы подаете синусоидальное напряжение, ток конденсатора будет все время опережать напряжение на 90 градусов.

Текущий =$C\dfrac{dV}{dt}$а дифференциал синусоиды напряжения является косинусоидой величины C. Косинус опережает синус на 90 градусов.

Вообще говоря, мы можем осмысленно говорить об относительной разности фаз между сигналами только в том случае, если два сигнала имеют одинаковую форму, но смещены во времени.

Теперь, как указывали другие, ток через конденсатор пропорционален скорости изменения напряжения на нем, поэтому, как правило, ток и напряжение, связанные с конденсатором, не имеют одинаковой формы .

Например, если напряжение на конденсаторе является линейным, ток конденсатора является постоянным. Если напряжение конденсатора параболическое, то ток конденсатора линейный.

Как мы можем осмысленно говорить об относительной фазе между параболическим напряжением и рампой тока?

Таким образом, чтобы можно было осмысленно говорить о разнице фаз, нам нужен совершенно особый тип формы волны; форма волны, которая имеет ту же форму, что и скорость ее изменения.

Примером такой формы волны является

$$v_C(t) = \sin( \omega t)$$

Скорость изменения (производная по времени) этого

$$\dot v_C(t) = \omega \cdot \cos (\omega t) = \omega \cdot \sin(\omega t + 90^\circ)$$

Так

$$i_C(t) = C \,\dot v_C(t) = \omega C \cdot \sin(\omega t + 90^\circ)$$

Теперь легко видеть, что в этом случае напряжение на конденсаторе и ток через конденсатор имеют одинаковую форму и что существует относительная фаза$90^\circ$.

---

Обратите внимание, что в случае форм сигналов заряда и разряда RC-цепи решения для возбуждения постоянным током следующие:

$$v_C(t) = V_{DC}(1 - e^{-t/RC}) + v_C(0)\cdot e^{-t/RC}$$

$$i_C(t) = \dfrac{V_{DC} - v_C(0)}{R}e^{-t/RC}$$

Для нулевого начального состояния (конденсатор заряжается) это:

$$v_C(t) = V_{DC}(1 - e^{-t/RC})$$

$$i_C(t) = \dfrac{V_{DC}}{R}e^{-t/RC}$$

Для нулевого возбуждения постоянным током (конденсатор разряжается) это:

$$v_C(t) = v_C(0)\cdot e^{-t/RC}$$

$$i_C(t) = - \dfrac{v_C(0)}{R}e^{-t/RC}$$

Как вы можете видеть, в любом случае нет никакого очевидного параметра относительной фазы, который мы могли бы идентифицировать в приведенных выше формах напряжения и тока.

На это есть тонкая причина. В случае синусоидальной формы сигнала мы можем добавить к аргументу константу, что приводит к смещению формы волны во времени; добавление этой константы изменяет фазу синусоидального сигнала:

$$\sin(\omega t + \phi)$$

представляет собой синусоидальный сигнал, сдвинутый во времени на$\frac{\phi}{\omega}$секунды.

Однако, если мы добавим константу к аргументу экспоненты, результатом будет не смещение во времени, а масштабирование (умножение на константу).

$$e^{-t/RC + \phi} = e^{-t/RC}e^\phi = Ke^{-t/RC}$$