Обоснование уравнений в анализе электрической цепи

Я попытаюсь рассмотреть математические детали того, как уравнение соответствует схеме, вместо того, чтобы говорить о более широкой картине поведения схемы, в надежде заполнить правильные пробелы в понимании. Обратите внимание, что я могу использовать некоторую нестандартную терминологию, так как я формально не изучал анализ цепей.

Закон напряжения Кирхгофа гласит, что направленная сумма напряжений вокруг цепи равна нулю, но почему члены уравнения$-V_0 + RI + Q/C = 0$быть структурированы, как они есть? В частности, почему напряжению присваивается отрицательный знак, …

С математической точки зрения, чтобы сумма равнялась нулю, некоторые члены должны быть положительными, а некоторые — отрицательными (или, что вырождено, все они должны быть равны нулю). На самом деле не имеет значения, поставите ли вы знак минус в уравнении или заставите переменные или константы иметь отрицательные значения; любой из них будет работать, но всегда где-то будут отрицательные числа . Вы должны упорядочить их, однако это сделает числа, которые вы получите, удобными для работы, что обычно означает, например, выбор$V_0$,$R$, и$I$быть положительными числами.

Но, конечно, если мы произвольно выберем знаки термов, мы не обязательно получим правильный ответ; не все схемы так просты, как эта, где любой заданный выбор знаков даст вам либо правильный ответ, либо физически невозможный.

В этом случае мы, по-видимому, используем соглашение о знаках, что если, когда мы движемся по петле в направлении текущей стрелки (которая, заметьте, в общем случае не указывает действительное направление тока, но указывает направление ток, который соответствует положительным значениям текущей переменной$I$) напряжение увеличивается (в типичном случае для этого компонента), то член отрицательный, и, соответственно, если напряжение уменьшается, то член положительный.

Теперь давайте рассмотрим, откуда взялись эти конкретные термины.

почему сопротивление умножается на силу тока

Идеальное поведение резистора описывается законом Ома ,$V = IR$. $V$в этом уравнении — напряжение на резисторе, поэтому мы можем просто добавить его в нашу сумму напряжений.

почему заряд конденсатора делится на емкость

Точно так же, как закон Ома описывает идеальные резисторы,

описывает идеальные конденсаторы (без привязки к имени ученого-историка). Теория гласит, что конденсатор будет иметь линейную зависимость между зарядом на нем и напряжением на нем, а константа пропорциональности известна как емкость .$C$. Итак, если мы хотим узнать напряжение, мы решаем для$V$и получить$Q/C$.

Физически это происходит потому, что накопление заряда препятствует дальнейшему накоплению заряда посредством концентрации электрического поля, которая, с точки зрения анализа цепи, представляет собой просто еще одну разность напряжений.

(Обратите внимание, что если начальное условие$Q = 0$тогда не имеет значения, какой знак мы даем члену конденсатора - изменение знака соответствует изменению местами конденсатора в цепи, которая, поскольку она симметрична, ничего не меняет.)

Наконец, идеальный источник напряжения — это компонент с фиксированным напряжением на нем, поэтому его член в уравнении равен просто$V_0$, фиксированное напряжение. (Это отрицается из-за выбора знаков в зависимости от направления тока, о котором я упоминал ранее.) Это дает нам все три члена нашей суммы напряжений.

почему скорость, с которой заряд накапливается на конденсаторе,$\dot{Q}$, функция заряда конденсатора,$f(Q)$?

Есть факт/уравнение, о котором они явно не упомянули: Ток — это поток заряда. Как и следовало ожидать для потока вещества, ток$I$течение времени$t$перемещает количество заряда$Q = It$; или в полной общности для переменного во времени тока,

Когда через конденсатор протекает ток, заряд на конденсаторе является точно таким же интегралом, потому что физически отдельные заряды не могут проходить через конденсатор, вместо этого вызывая излишек и дефицит зарядов на двух пластинах конденсатора (что и происходит). переменная$Q$для конденсатора относится).

Теперь вернемся к уравнению: если$Q = \int I(t) dt$тогда также$\dot{Q} = \frac{dQ}{dt} = I(t),$и если мы подставим это вместо$I$в нашем уравнении цепи$-V_0 + RI + Q/C = 0$мы получаем

Решите это для$\dot{Q}$и вы получаете последний шаг, написанный в вашей цитате,

Затем решите это дифференциальное уравнение, чтобы получить формулу для$Q(t)$и вы завершили задачу.

1) Напряжение питания V0 должно соответствовать напряжению на резисторе и конденсаторе, чтобы замкнуть контур. Поскольку закон Ома гласит, что R=U/I, его можно преобразовать в U=RI, что является напряжением на резисторе. Заряд конденсатора равен Q=CU, поэтому при перестановке напряжение U=Q/C. Таким образом, приложенное напряжение питания минус напряжение резистора минус напряжение конденсатора всегда должно быть равно нулю. Переставьте члены, чтобы получить одинаковые знаки. Иногда при оформлении книги приходится выбирать нотацию и придерживаться ее, даже если толку кажется мало.

2) По мере зарядки конденсатора напряжение на нем увеличивается, поэтому на резисторе будет меньше напряжения и меньше тока через резистор. Таким образом, чем больше напряжение на конденсаторе (т.е. заряд в нем), тем меньшим током он заряжается, поэтому напряжение меняется медленнее (медленнее заряжается).

У вас уже есть отличный ответ, но, возможно, будет интересно немного больше информации. RC-фильтр нижних частот имеет один элемент накопления энергии (конденсатор) и один путь рассеивания (резистор). Перед замыканием ключа вход равен нулю вольт, и предполагается, что крышка не имеет накопленного заряда, поэтому ее напряжение равно нулю. При t = 0 ключ замыкается, и входное напряжение подскакивает до некоторого значения.$V_0$вольт. Таким образом, эта система описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с начальным условием.

Все системы с одним элементом накопления энергии, одним диссипативным путем и начальным условием описываются одним и тем же дифференциальным уравнением. Так что это применимо ко многим системам, например, чашка горячего кофе остывает (закон охлаждения Ньютона); радиоактивный распад первого порядка; затухание флуоресценции возбужденного атома и так далее. Это повсюду.

Вот мой рисунок, показывающий дифференциальное уравнение и его решение, предполагая вход единичной ступенчатой ​​функции при t = 0 с:

На рисунке также показана моя численная имитационная модель (с использованием Extend) с RC = 2 с и$V_0$= 1 В. Все работает именно так, как говорит @Justme в своем ответе.

1. Это помогает пометить напряжение резистора. Когда ток течет, в данном случае слева направо, левая сторона резистора соответствует + напряжению, а правая сторона - -. Это противоположность источника напряжения.

2. Рассмотрим установившееся напряжение на конденсаторе. Что это будет? Будет ли в этом случае течь ток? Есть ли момент, когда заряд перестает накапливаться (подумайте об этом как в приблизительном, так и в точном смысле, поскольку они приводят к двум разным ответам).