Определение химического потенциала

Довольно сложно ответить на ваш вопрос, не зная точно, с какой системой вы имеете дело. Если вы рассматриваете систему, которая может обмениваться теплом только с окружающей средой, у вас будет каноническая статистическая сумма с нулевым химическим потенциалом. Однако если вы рассматриваете систему, которая может обмениваться теплотой и частицами с источником, то ваша статистическая сумма предназначена для большого канонического ансамбля, и в нее должен быть включен химический потенциал.

Что касается вашего расчета, кажется, не имеет смысла находить химический потенциал как функцию самого себя, и вам нужно быть уверенным в зависимости от вашей системы, должен ли химический потенциал присутствовать или нет в вашей статистической сумме. Если бы это было не так, то вообще не было бы смысла вычислять химический потенциал, так как он был бы равен нулю. Что именно вы пытаетесь вычислить? Возможно, есть другой подход к вашей проблеме.

Когда вы пишете статистическую сумму для одной частицы, статистическая сумма является канонической статистической суммой для N = 1. С чего вы взяли, что простое суммирование факторов Больцмана не имеет смысла? Может быть, я упускаю из виду, о какой ситуации вы думаете. Если это система N-частиц с двумя энергетическими уровнями, один из которых имеет степень вырождения 2, то в первую очередь сработает простое удаление химического потенциала.

---

Как это должно быть

Вы можете начать либо с канонического ансамбля, либо с большого канонического ансамбля, но не следует смешивать методы.

Канонический ансамбль

Работа в каноническом ансамбле означает число частиц$N$фиксированный. Как следствие, каноническая статистическая сумма явно не включает химический потенциал. В этом случае,

$$Z_1 = e^{\beta\epsilon_1} + 2e^{\beta\epsilon_2}.$$ Следующие шаги обычно применяются к невзаимодействующим $N$-система частиц. $$Z_N = Z_1^N , \qquad$$ $$F_N(T) = -kT \ln Z_N = -NkT \ln Z_1 = NF_1$$ $$\mu \approx \left(\frac{\partial F_N}{\partial N}\right)_T = -kT \ln Z_1 = F_1$$

Большой канонический ансамбль

Когда вы видите функцию раздела, включая$\mu$, вы, вероятно, смотрите на великую каноническую функцию распределения. Опять же, скажем

$$Z_N = Z_1^N,$$ это лучшее, что мы можем сказать, не зная, являются ли частицы фермионами или бозонами. $$\mathcal{Z} = \sum_{N}Z_Ne^{\beta\mu N} = \frac{1}{1 - Z_1e^{\beta\mu}}$$ $$\Omega(T,\mu) = -kT \ln \mathcal{Z} = kT \ln{(1 - Z_1e^{\beta\mu})}$$ $$\langle N \rangle = -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_T = \frac{Z_1e^{\beta\mu}}{1 - Z_1e^{\beta\mu}}$$ $$\mu = -kT \ln Z_1 + kT \ln{\left(\frac{\langle N \rangle}{\langle N \rangle +1}\right)}$$ В пределе $\langle N \rangle \to \infty$, результат сходится с каноническим ансамблем.