Крайняя путаница с метрическими тензорами

Путаница возникает из-за того, что в вашем вопросе задействовано, по-видимому, 2 понятия, что делает тему довольно сложной. 2 концепции:

описание метрического тензора в координатно-зависимой форме (классический способ)

описание метрического тензора в свободной от координат форме (современный способ), что фактически требует использования дифференциальных форм.

Так просто написать уравнение вида$e_i \cdot e_j = \delta_{ij}$, и это выглядит настолько интуитивно понятным, что никто не колеблется поверить в это, но за этим стоит довольно абстрактная теория касательных векторов и дифференциальных форм на многообразиях. В этой теории символы$e_i$являются касательными векторами свободно выбранной точки многообразия, и они фактически записываются как выражения частных производных, и в вашем вопросе они выбраны ортонормированными. В 2-разм. плоское многообразие, например, - это наш выбор - 2 ортонормированных касательных вектора$\frac{\partial}{\partial x}$и$\frac{\partial}{\partial y}$которые обладают (хорошим) свойством ортонормированности к соответствующим ковекторам${ dx , dy}$. (Ковекторы являются базой двойственного пространства, называемого здесь кокасательным пространством, которое определено поточечно, т. е. в каждой точке многообразия есть другое касательное пространство и кокасательное пространство и т. д. ...) Явно:

$dx(\frac{\partial}{\partial x})=1$и$dy(\frac{\partial}{\partial y})=1$тогда как$dy(\frac{\partial}{\partial x})=0$и$dx(\frac{\partial}{\partial y})=0$.

Теперь определим, что подразумевается под$\cdot$произведение касательных векторов. Для этого нам понадобится метрический тензор$g$который является симметричным тензором$e_i \cdot e_j := g(e_i, e_j)$. Итак, если наш базис выбран ортонормированным, то на самом деле мы получаем:$e_i \cdot e_j = g(e_i, e_j)=\delta_{ij}$. Мы поработаем над этим еще немного. Наш тензор$g$на самом деле находится в формализме дифференциальных форм:

$g = dx \otimes dx + dy \otimes dy$

Если мы хотим узнать его компоненты, мы должны оценить его по базисным векторам (помните$dx(\frac{\partial}{\partial x})=1$и$dy(\frac{\partial}{\partial y})=1$тогда как$dy(\frac{\partial}{\partial x})=0$и$dx(\frac{\partial}{\partial y})=0$. ):

$e_x \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial x} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial x} ) = g_{xx} = 1+0= 1.$

$e_x \cdot e_y = g(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial y} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial y} ) = g_{xy} = 0 + 0 =0.$

$e_y \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial x})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial x} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial x} ) = g_{yx} =0 + 0 =0.$

$e_y \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y} ) = g_{yy}= 0 + 1 =1.$

Мы получили желаемый результат, базисный вектор ортонормирован, как и требовалось. Что произойдет, если мы изменим метрику? Перейдём к полярным координатам$(r,\phi)$. (Помнить$(x,y) =(r cos\phi, r sin\phi)$, производные ниже должны быть выполнены с использованием этого определения) С этими координатами мы можем построить следующие касательные векторы$\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \phi}\right)$. Соответствующие ковекторы$(dr, d\phi)$:

Метрика в полярных координатах выглядит так:$g = dr \otimes dr + r^2 d\phi \otimes d\phi$

$g_{rr}= g(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r} ) = 1 + 0 =1.$

$g_{r\phi}= g(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) = 0 + 0 =0.$

Если$r$и$\phi$в касательных векторы меняются местами, результат тоже нулевой:$g_{\phi r}=0$.

$g_{rr}= g(\frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{ \partial}{\partial \phi})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{\partial}{\partial \phi} ) = 0 + r^2 =r^2$.

На самом деле мы обнаруживаем, что выбранные нами касательные векторы нормальны друг к другу, но не ортонормированы. Это нормально. Это наш выбор. Базовая система не обязательно должна быть ортонормированной. На самом деле мы можем легко решить проблему, выбрав$e_\phi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}$. Но есть небольшая оговорка. До сих пор наши ковекторы (дуальные векторы нашим касательным векторам) были полными дифференциалами. Это уже невозможно для нового выбора координат. Ковектор$e_\phi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}$является$r d\phi$которое уже не может быть представлено полным дифференциалом. Такие базы называются анхолоном. Они чрезвычайно практичны для вычислений, но как-то неестественно. Тем не менее в современном формализме дифференциальных форм вы найдете их повсюду.

Наконец, если применить преобразование координат, компоненты метрического тензора$g(e_i,e_j)$трансформировать по правилу

$g(e'_i,e'_j) = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} g(e_k,e_l)$. Суммирование ведется по дважды встречающимся индексам.

Преобразование полярных (нештрихованных) координат в декартовы (штрихованные) координаты: сначала мы знаем из наших вычислений выше (мы будем использовать голономные координаты$(r,\phi)$):$g_{rr}=1$,$g_{r\phi}=0$, и$g_{\phi\phi}=r^2$. Имея это в виду, составим уравнения преобразования:

$g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial x} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{\phi\phi} = cos^2\phi g_{rr} + 0+ \frac{(-sin\phi)^2}{r^2} g_{\phi\phi} = cos^2\phi + sin^2\phi =1.$

Помните, что метрический тензор симметричен, поэтому мы объединяем два смешанных термина в один, а также понимаем, что как$g_{r\phi}= g_{\phi r} =0$, мы можем вообще забыть о смешанных терминах.

$g_{xy} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial y} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{\phi\phi} = cos\phi sin\phi g_{rr} + 0 + \frac{cos\phi}{r} \frac{-sin\phi}{r} g_{\phi\phi} = cos \phi sin\phi - cos\phi sin\phi =0.$

$g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial r}{\partial y} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{\phi\phi} = sin^2\phi g_{rr} + \frac{cos\phi}{r} \frac{cos\phi}{r} g_{\phi\phi} = sin^2\phi + cos^2\phi =1.$

Мы можем подтвердить, что формула преобразования метрического тензора при преобразовании координат из полярных в декартовы координаты работает корректно.
Собственно, это можно сделать и с анголономными координатами, может быть, там немного меняется закон преобразования, но априори тоже должно получиться. Я надеюсь, что это поможет, но, возможно, было бы необходимо узнать больше о дифференциальных формах, чтобы сделать этот ответ еще более ясным.

Итак, путаница, которую я здесь вижу, в основном связана с терминологией.

В большинстве мыслей у нас есть метрический тензор$g_{ab}$, который является обобщением нормального скалярного произведения на векторное пространство. Чтобы иметь согласованный набор правил для векторных и одноформенных преобразований, а также для того, чтобы операции повышения и понижения были обратимыми, необходимо, чтобы в компонентах скалярный продукт двух одноформенных преобразований задавался обратной матрицей$g_{ab}$, который мы называем$g^{ab}$условно. Когда люди говорят «обратная метрика», они буквально имеют в виду, что это обратная матрица, так что$g_{ab}g^{bc} = \delta_{a}{}^{c}$по определению.

Хорошо, а что теперь с этими тетрадными векторами?${\bf e}^{a}$?, ну, лучше всего думать о них как о наборе векторов, которые образуют ортонормированный базис векторного пространства, натянутого на$g_{ab}$Следовательно, их должно быть четыре, которые мы можем пометить нижним индексом (буду использовать заглавные латинские буквы). По построению имеем:

$${\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b}g_{ab} = \eta_{IJ}$$

где$eta$является метрикой Минковского. Умножить слева на$\eta^{JK}$, и получаем:

$$\eta^{JK}{\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b}g_{ab} = \delta_{I}{}^{J}$$

из чего проще всего сделать вывод, что

$$\eta^{JK}{\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b} = \frac{1}{4}g^{ab}\delta_{I}{}^{K}$$

или, проще говоря

$$\eta^{IJ}g_{I}^{a}g_{J}^{b} = g^{ab}$$

это отношение, которое вы цитируете в вопросе, написанном более явно. Один из способов подумать об этом - представить тетраду как «квадратный корень» из метрического тензора.

Оказывается, мы можем полностью переформулировать всю общую теорию относительности в терминах тетрады (иногда ее называют по немецкому имени «фирбайна») векторов.$\bf e$без прямой ссылки на метрический тензор вообще, и фактически это ЕДИНСТВЕННЫЙ способ, которым мы можем включить спиноры в общую теорию относительности.