Круг внутри воздушного змея внутри большего круга

Точки$O,P,Q,R$лежат на круге, как показано на схеме ниже.$OQ$это диаметр окружности. Четыре точки$O,P,Q,R$также являются вершинами воздушного змея,$K$.

Относительно происхождения$O$, координаты$P$и$Q$являются$(1,2,-1)$и$(2,1,-2)$соответственно.

Второй круг,$C_1$, нарисовано внутри$K$, так что все четыре стороны$K$касаются$C_1$. Найдите радиус$C_1$. Дайте ответ в форме$(\sqrt{2}-1)\sqrt{n}$, где$n\in\Bbb{N}$.

Мои мысли:

Я считаю$R$имеет координаты$\left(\dfrac{5}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{5}{3}\right)$. Я нашел это, найдя точку$S$на линии$OQ$такой, что$PS$перпендикулярно$OQ$. Эта точка$S$является$\dfrac{2}{3}$пути вдоль$OQ$.

Я знаю, что длины$OQ=3$и$PR=\dfrac{2}{3}\sqrt{17}$, поэтому площадь воздушного змея$\sqrt{17}$.

Я также знаю, что треугольник$POR$равнобедренный (оба$OP$и$OR$являются$\sqrt{6}$), оба$OPQ$и$ORQ$треугольники прямоугольные (так как$OQ$диаметр окружности), и я могу найти углы этих треугольников.

Я думаю, что, вероятно, есть решение грубой силы, которое включает в себя нахождение плоскости, в которой лежит окружность, вычисление градиентов сторон воздушного змея в этой плоскости, а затем использование того факта, что касательные к$C_1$соответствовать радиусу в$90^{\circ}$, но наверняка должно быть более элегантное решение.

Кто-нибудь может подсказать?