Оптическая теорема для антинормального упорядочения

В этой статье: https://arxiv.org/abs/1206.3405

Они рассматривают матрицу плотности:

р "=" ∫ п ( α ) | α ⟩ ⟨ α |

Где | α ⟩ являются когерентными состояниями.

Используя его, мы можем легко доказать их формулу (5):

⟨ ( а † ) м а н ⟩ "=" Тр ⁡ [ р ( а † ) м а н ] "=" ∫ п ( α ) Тр ⁡ [ ( а † ) м а н | α ⟩ ⟨ α | ]

И используем круговую перестановку следа + тот факт, что Тр ⁡ ( | α ⟩ ⟨ α | ) "=" 1 , и в итоге получаем:

⟨ ( а † ) м а н ⟩ "=" ∫ α н α * м п ( α )
это их формула (5).

Но я не понимаю, как мы можем найти их формулу (7):

Действительно, у нас было бы:

⟨ а н ( а † ) м ⟩ "=" Тр ⁡ [ р а н ( а † ) м ] "=" ∫ п ( α ) Тр ⁡ [ ( а н а † ) м | α ⟩ ⟨ α | ]

Но чтобы продолжить, мне нужно либо знать действие:

( а † ) м | α ⟩ (не помню точно почему, но знаю что это не так α * м | α ⟩ )

Или мне нужно было бы сделать большую коммутацию силы созидания/уничтожения.

Таким образом, я немного застрял: как мы можем доказать формулу ( 7 ) статьи?

Я прочитал страницы: https://en.wikipedia.org/wiki/Glauber%E2%80%93Sudarshan_P_representation https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_equivalence_theorem , и я все еще застрял.

Что я понимаю с первой страницы, так это то, что мы можем написать матрицу плотности:

р "=" ∫ п ( α ) | α ⟩ ⟨ α |

или

р А "=" ∑ Дж к с Дж к а к ( а † ) к

И у нас есть отношения п ( α ) "=" 1 π р А ( α , α * )

Поэтому я думаю, что полезно использовать формулу с р А но я застрял, когда использую его, чтобы попытаться доказать (7).

Ответы (1)

Вставьте оператор единства в | α ⟩ -основа между а н и ( а † ) м . Следуя обозначениям в статье, имеем

⟨ а н ( а † ) м ⟩ "=" тр ⁡ [ р а а н ( а † ) м ] "=" ∫ α 1 π ⟨ α | р а а н ( а † ) м | α ⟩ "=" ∫ α β 1 π 2 ⟨ α | р а а н | β ⟩ ⏟ β н | β ⟩ ⟨ β | ( а † ) м ⏟ ⟨ β | β * м | α ⟩ "=" ∫ α β 1 π 2 ⟨ β | α ⟩ ⟨ α | р а | β ⟩ β н β * м "=" ∫ β 1 π ⟨ β | р а | β ⟩ β н β * м "=" ∫ α Вопрос а ( α ) α н α * м .

Мы использовали тот факт, что я "=" ∫ β 1 π | β ⟩ ⟨ β | (как также указано здесь ).

Я не уверен, что понимаю. Действительно, вы написали ⟨ β | α ⟩ "=" дельта α β но наша база не ортонормирована, так как мы работаем с когерентными состояниями. Более того, я не уверен, сможем ли мы вычислить трассировку записи ∫ α ⟨ α р а а н ( а † ) м | α ⟩ . Действительно, | α ⟩ покрывает больше, чем все пространство (они охватывают гильбертово пространство с некоторым восстановлением). Не могли бы вы объяснить, пожалуйста?
Возможно, я не совсем ясно говорил о когерентных состояниях (я сделал ссылку на статью, но не сказал об этом явно). Я отредактировал сейчас!
Я действительно упустил фактор 1 / π для след. Остальное было неаккуратно с моей стороны, извините за это. Надеюсь, теперь стало понятнее.
Ваше последнее утверждение, отмеченное в комментарии выше, кажется неверным. Вместо этого, почему бы вам просто не принести ⟨ β | α ⟩ влево и удалить личность.
Я не уверен, что вы имеете в виду. Однако в последней строке была ошибка, где интеграла не должно было быть.
Я имел в виду, что вы можете сделать вывод: ∫ α β 1 π 2 ⟨ α | р а | β ⟩ β н β * м ⟨ β | α ⟩ "=" ∫ α β 1 π 2 ⟨ β | α ⟩ ⟨ α | р а | β ⟩ β н β * м "=" ∫ β 1 π ⟨ β | р а | β ⟩ ⏟ ЧАС ты м я с я − Вопрос − ф ты н с т я о н β н β * м .
Ах, да, это действительно более элегантно.
Оптическая теорема для антинормального упорядочения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v