Коммутатор с квадратным корнем

Как найти коммутатор [ а , а † а ] ? Здесь а — обычный бозонный оператор уничтожения, а [ а , а † ] "=" 1 .

Первое, что я попробовал, это

[ Икс , А ] "=" [ Икс , А ] А + А [ Икс , А ]
что ясно показывает как сходство коммутаторов с производными, так и различие между ними. В общем, [ [ Икс , А ] , А ] ≠ 0 , так [ Икс , А ] ≠ [ Икс , А ] 2 А .

Обычный прием (см. Мандель и Вольф, Оптическая когерентность и квантовая оптика )

[ а , ф ( а , а † ) ] "=" г ф г а †
здесь ни к чему. Действительно, вычисляя производную, определяемую как
г ф ( а , а † ) г а † "=" лим дельта → 0 ф ( а , а † + дельта ) − ф ( а , а † ) дельта
для ф "=" а † а приводит к
г г а † а † а "=" а ( 2 а † а ) − 1 + лим дельта → 0 [ ( а † + дельта ) а , а † а ] ( дельта ( а † + дельта ) а + дельта а † а ) − 1 .

Пожалуйста, проявите больше усилий. Что вы пытались сделать, прежде чем опубликовать вопрос? Как вы думаете, какой ответ?
@dimension10 Неужели все так просто? Я даже не понимаю, как можно определить квадратный корень.
@ user10001: Я знаю, когда ОП начнет пытаться решить эту проблему, он сам это поймет.
А такой оператор, как А А = А. Что не так?
Хорошо, вы добавили больше деталей, поэтому я отказался от -1.
И случайно поставил +1... . Который я не могу отменить.
На самом деле сейчас могу, но не хочу.

Ответы (3)

Вы должны использовать собственные состояния | н ⟩ оператора н ^ "=" а † а .

У вас есть, то, что а н ^   | н ⟩ "=" а н   | н ⟩ "=" н   а | н ⟩ "=" н ^ + 1   а | н ⟩ , где последнее равенство, потому что а | н ⟩ ∼ | н − 1 ⟩ .

Так, [ а , н ^ ]   | н ⟩ "=" ( н ^ + 1 − н ^ )   а | н ⟩ , для каждого | н ⟩ , и поэтому

[ а , н ^ ] "=" ( н ^ + 1 − н ^ )   а .

Спасибо, это просто. Я полагаю, что это было на курсе QM для старшекурсников, о котором я совершенно забыл. Кстати, по какой-то причине я не могу проголосовать за ваш ответ — там написано «Вы не можете проголосовать за свой пост».
@Andrii: Ошибка? Обычно вы нажимаете на флажок. Вы вошли в систему? Воспользуйтесь метаканалом (см. меню вверху SE-страницы), если что-то не работает.

Нам дано

[ а ^ , а ^ † ]   "="   1 .

Позволять

н ^   "="   а ^ † а ^ .

Подсказки:

  1. Докажи это

    а ^ н ^ "=" ( н ^ + 1 ) а ^ .

  2. Докажите, что если ф : Ом ⊆ С → С является достаточно хорошей функцией, то

    а ^ ф ( н ^ ) "=" ф ( н ^ + 1 ) а ^ .

  3. Утверждают, что коммутатор [ а ^ , н ^ ] (на физическом уровне строгости) должен иметь следующий (частично) нормально-упорядоченный вид

    [ а ^ , н ^ ] "=" ( н ^ + 1 − н ^ ) а ^ .

Спасибо, это просто. Я полагаю, что это было на курсе QM для старшекурсников, о котором я совершенно забыл.
Извините, я что-то пропустил? я не верю ф ( Икс ) "=" Икс подходит для шага 2, потому что шаг 2 требует, чтобы вы разложили (ограниченный) оператор в ряд Тейлора: ряд Тейлора не существует вокруг нуля и, более того, н ^ не ограничен: так ясно, что мне не хватает какого-то физического аргумента?
Свойство 2 справедливо и для функции извлечения квадратного корня. На самом деле свойство 2 выполняется для гораздо более широкого класса функций ф чем просто класс (вещественных) аналитических функций, ср. обобщения аппроксимационной теоремы Вейерштрасса . В частности, функцию квадратного корня можно рассматривать как предел последовательности ( ф н ) н е Н вещественных аналитических функций, где выполняется свойство 2, а значит, свойство 2 выполняется и для самой функции квадратного корня.
Спасибо, я должен признать, что я не думал о более общем классе, приближенном к Вейерштрассу. Мне придется подумать об этом — неограниченность может стать препятствием для строгого математического доказательства, основанного на теореме Стоуна-Вейерштрасса. Но, учитывая, что по крайней мере один квадратный корень определенно существует, я согласен с тем, что физически вполне разумно предположить, что наблюдаемые ведут себя таким образом.

Формально можно сказать

г ф ( а , а † ) г а † "=" лим дельта → 0 ф ( а , а † + дельта ) − ф ( а , а † ) дельта

для ф ( а , а † ) "=" а а † "=" а а †

г ф ( а , а † ) г а † "=" а лим дельта → 0 ( а † + дельта − а † ) дельта

Обратите внимание, что ( а † + дельта ) н "=" ( а † ) н + ( а † ) н − 1 н дельта + О ( дельта 2 ) (биномиальная теорема), так что

а лим дельта → 0 ( а † + дельта − а † ) дельта "=" а лим дельта → 0 а † дельта + дельта 2 а † дельта + О ( дельта 2 ) дельта − а † дельта

И наконец

г ф ( а , а † ) г а † "=" а 2 а †

Однако я не уверен, что ( а † ) н определяется для н е Вопрос или даже н е Z .

Можно легко определить А д для любого рационального q и оператора A. Я думаю, что единственная проблема здесь возникает, когда оператор действует в пространстве с бесконечными измерениями. Например, в этом случае матричные элементы обратного оператора могут быть сингулярными, как и в случае оператора уничтожения бозона а − 1 .
Ой, они не сингулярны, а близки к нулю (в представлении Фока), потому что определитель матрицы оператора а является 1 ⋅ 2 ⋅ 3 … -- бесконечно =)
что касается вашего ответа, 1) я сомневаюсь в происхождении биномиальной теоремы для н не натуральный; 2) ваша окончательная формула должна пониматься как .5 а а † − 1 / 2 или .5 а † − 1 / 2 а или это то же самое?
Должен быть а во-первых, но мой ответ неверен, посмотрите, что дают Qmechanic и Trimok
Коммутатор с квадратным корнем
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v