Орбитальный маятник (модель гантелеобразной луны)

Рассмотрим луну, вращающуюся вокруг своей планеты по круговой орбите. Луна приливно привязана к своей планете и имеет две постоянные выпуклости, не совсем выровненные с планетой. Согласно теории гравитации Ньютона, Луна должна колебаться вокруг своего равновесного выравнивания с планетой. Я рассматриваю простую луну, представленную двумя маленькими частями, на каждую из которых действует гравитационная сила. Линия, соединяющая обе части, для простоты ограничена только плоскостью орбиты . Луна должна вести себя как маятник. Для очень малых угловых перемещений$\vartheta$, я нашел это дифференциальное уравнение:

$$\begin{equation}\tag{1} \ddot{\vartheta} + \frac{3 G M}{r_{\text{cm}}^3} \, \vartheta = 0, \end{equation}$$ где $M$- масса планеты, а $r_{\text{cm}}$это расстояние от планеты до центра масс Луны. Это уравнение гармонических колебаний, и, таким образом, угловая частота колебаний равна $$\begin{equation}\tag{2} \Omega = \sqrt{\frac{3 G M}{r_{\text{cm}}^3}}. \end{equation}$$ Для нашей Луны это дает период в 15,8 дня. На поверхности Земли, удерживая длинный стержень за его центр масс, получаем период 48,7 минут (это слишком долго, чтобы его можно было измерить из-за трения, которое стабилизирует стержень в его равновесном вертикальном положении. Кроме того, неточность в опоре приведет к более быстрому наклону стержня в ту или иную сторону).

Так вот, я нигде этого не видел, и мне нужно подтверждение, что это правильно. Поиск в Google о колебаниях луны ничего не дает.

Я очень удивлен, что в формуле угловой частоты (2) не указан момент инерции.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Вот некоторые детали. Луна и ее выпуклости моделируются как световой стержень со сферической массой на каждом конце (гантелеобразная луна). Момент импульса вращения определяется относительно центра масс Луны:

$$\begin{equation}\tag{3} \vec{S} = m_1 \, \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{\tilde{v}}_1 + m_2 \, \vec{\tilde{r}}_2 \times \vec{\tilde{v}}_2, \end{equation}$$ где $m_1 = m_2 = \tfrac{1}{2} \, m_{\text{moon}}$, а векторы с тильдой определяются относительно центра масс кадра. У нас есть $\vec{\tilde{r}}_2 = -\, \vec{\tilde{r}}_1$(см. рисунок ниже).

Используя правило правой руки для перекрестного произведения, я нахожу это:

$$\begin{equation}\tag{4} S = (m_1 \, \tilde{r}_1^2 + m_2 \, \tilde{r}_2^2) (\omega_{\text{rev}} - \dot{\vartheta}) \equiv I \, \omega_{\text{rot}}. \end{equation}$$ Производная по времени от вектора вращения равна крутящему моменту, приложенному к Луне: $$\begin{align} \frac{d\vec{S}}{dt} &= \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{F}_1 + \vec{\tilde{r}}_2 \times \vec{F}_2 \\[12pt] &= -\, \vec{\tilde{r}}_1 \times \frac{G M m_1}{r_1^3} \, \vec{r}_1 - \vec{\tilde{r}}_2 \times \frac{G M m_2}{r_2^3} \, \vec{r}_2 \\[12pt] &= -\, \frac{G M m}{2} \Big( \frac{1}{r_1^3} \, \vec{\tilde{r}}_1 \times (\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{\tilde{r}}_1) + \frac{1}{r_2^3} \, \vec{\tilde{r}}_2 \times (\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{\tilde{r}}_2) \Big) \\[12pt] &= -\, \frac{G M m}{2} \Big( \frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3} \Big) \, \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{r}_{\text{cm}} \tag{5} \end{align}$$ Расширение последней скобки до самого низкого порядка дает $$\begin{equation} \frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3} \approx \frac{6 \, \tilde{r}_1}{r_{\text{cm}}^4} \, \cos{\vartheta}. \end{equation}$$ Подставляя это и (4) в экв. (5), используя малоугловое приближение: $2 \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \equiv \sin{2\vartheta} \approx 2 \vartheta$, и упрощая, дает экв. (1).