Основана ли квантовая механика на принципе неопределенности? Или наоборот?

Принцип неопределенности является следствием некоммутирующих наблюдаемых в квантовой механике. Давайте остановимся на общих чертах QM и посмотрим, что означает это утверждение.

Структура КМ включает в себя гильбертово пространство, состояния, живущие в нем, и операторы, некоторые из которых можно интерпретировать как измерения, результаты которых мы называем наблюдениями. Рассмотрим два таких эрмитовых оператора,$A$и$B$. Какова разница в каждом из них?

$$\begin{align} \sigma^2_A &= \langle(A-\langle A\rangle)^2\rangle\\ &=\langle\Psi|(A-\langle A\rangle)^2\Psi\rangle\\ &=\langle(A-\langle A\rangle)\Psi|(A-\langle A\rangle)\Psi\rangle\\ &=\langle f|f\rangle \end{align}$$ Аналогично пишем $\sigma_B^2=\langle g|g\rangle$. Теперь по неравенству Шварца имеем, что $$\begin{align} \sigma_A\sigma_B &= \sqrt{\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle}\\ &\ge|\langle f|g\rangle|\\ &\ge\mathcal Im\langle f|g\rangle\\ &=\frac{1}{2i}\left(\langle f|g\rangle-\langle g|f\rangle\right) \end{align}$$ Подключаем обратно наши выражения для $f$и $g$мы приходим к $$\sigma_A\sigma_B\ge\frac{1}{2i}\langle[A,B]\rangle$$ где мы ввели коммутатор, $[A,B]=AB-BA$. Это принцип неопределенности в самом общем виде. Мы видим, что все сводится к тому, что наблюдаемые не коммутируют друг с другом. Для случая импульса и положения имеем $[p,x]=i\hbar$, поэтому принцип неопределенности гласит $$\sigma_p\sigma_x\ge\frac{\hbar}{2}$$ Надеюсь, это поможет!